Como alguien cuyos conocimientos de cohomología son fragmentarios y adquiridos en función de las necesidades, y cuyos conocimientos de geometría algebraica son aún peores, me preguntaba si alguien podría ayudarme con esta cuestión. (Me topé con ella hace un tiempo mientras intentaba responder a algunas preguntas sobre la Fourier álgebras de grupos Lie compactos). La solución podría ser simplemente indicarme el fragmento correcto de la bibliografía adecuada.
Más en detalle: utilizando R para denotar los reales, considere el grupo ortogonal especial SO(n,R) como una variedad afín en M n (R)=R n^2 ; y sea A el anillo de coordenadas de esta variedad, considerada como un álgebra R (creo que ésta es la terminología correcta; me refiero simplemente al álgebra de funciones valoradas en R sobre el grupo generado por las funciones de coordenadas). Me gustaría saber cuál es el mayor d para el que H d alt (A,A) es distinto de cero, donde H d es la homología de Hochschild de A con coeficientes en sí misma, y "alt" es la parte generada por ciclos alternos, también llamados antisimétricos.
La vaga idea que tenía era que decía d debe ser igual a la dimensión del espacio tangente (definido mediante ideales máximos en A) en un punto de la variedad original y, por tanto, a la dimensión de SO(n,R) como una variedad real. He intentado buscar algo en la bibliografía, pero gran parte de lo que he encontrado es para variedades afines/proyectivas generales, por lo que es demasiado general y no exactamente autocontenido.
¿Existe una imagen general que nos diga que la homología de Hochschild de A puede calcularse en términos de la cohomología del álgebra de Lie de así que (n,R)? Si es así, ¿funciona para formas compactas de otras álgebras de Lie semisimples?
Edita: se ha señalado que, si sabemos que A es un anillo liso en el sentido del álgebra conmutativa, entonces uno puede rueda en el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg. Había evitado mencionarlo, porque aunque estoy seguro de que A debería ser liso en este sentido, uno de mis problemas es tratar de encontrar una referencia explícita a este hecho putativo. También parece (dado que la variedad SO(n,R) tiene una simetría global tan buena) que debería haber una prueba que no se basara en demostrar la suavidad de A.
Edición final (por ahora): Después de leer algunos libros de texto, parece que la solución más sencilla, si no la más elemental, es "observar" o citar el hecho de que SO(n,R) es una variedad suave sobre R, utilizar la localización para reducir el cálculo a la homología de Hochschild del anillo local en un punto y, a continuación, utilizar HKR o algo similar. Esto me sigue pareciendo exagerado, pero al menos parece dar una prueba bien definida. (Si ves un camino mejor, no dudes en añadir un comentario).
