Demostrar que $ ax^2+bx+c=0 $ tiene al menos una raíz en $(0,1)$ si $10a+12b+15c=0$

Question

Si $10a+12b+15c=0$ Demostrar que $$ ax^2+bx+c=0 $$ tiene al menos una raíz en $(0,1)$ .

Progreso

He intentado resolverlo mediante el teorema de Rolle ( $f'$ tiene una raíz entre dos raíces cualesquiera de $f$ ), pero no pudo obtener el resultado.

Answer 1

Considere $x = \frac{10}{12}$ :

$$\begin{align*} f\left(\frac{10}{12}\right) &= a\left(\frac{10}{12}\right)^2+b\left(\frac{10}{12}\right)+c\\ &= \frac{10}{144}\left(10a+12b+\frac{144}{10}c\right)\\ &= \frac{10}{144}\left(10a+12b+15c-\frac{6}{10}c\right)\\ &= -\frac{6}{144}c \end{align*}$$

Y considera $x=0$ :

$$f(0) = 0^2a + 0b + c = c$$

Si $c\ne 0$ por el teorema del valor intermedio, debe existir un $x\in\left(0, \frac{10}{12}\right)\subset(0,1)$ que satisface $f(x)= 0$ .

Si $c=0$ , $\frac{10}{12}\in(0,1)$ es una raíz.

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Cómo obtuve $x = \frac{10}{12}$ :

Supongo $x = 12k$ y $x^2 = 10k$ para algún número real $k$ . Resolviendo $10k = (12k)^2$ , $k$ se elige la raíz distinta de cero $k = \frac{10}{144}$ que aparece como el multiplicador de arriba. Y $x = 12k = \frac{10}{12}$ .