Distribución de Poisson: Prueba de probabilidades sucesivas

Question

Estoy un poco atascado en la siguiente pregunta y necesito ayuda con la siguiente pregunta:

"Para un experimento determinado, la distribución de Poisson con parámetro $ = m$ ha sido asignado. Demuestre que el resultado más probable del experimento es el valor entero $k$ tal que $m 1 k m$ . ¿En qué condiciones habrá dos valores más probables? Pista: Considera el cociente de probabilidades sucesivas".

La solución dice que $$\frac{P(\text{outcome is } j+1)}{P(\text{outcome is } j)} = \frac{\frac{m^{j+1}e^{-m}}{(j+1)!}}{\frac{m^je^{-m}}{j!}} = \frac{m}{j+1}$$

No sé muy bien cómo se me ha ocurrido esto, ¿alguien me lo puede explicar?

Gracias

Answer 1

Vale, me arriesgaré un poco y supondré que estás familiarizado con el hecho de que $$\Pr(\text{outcome is }j) = \frac{m^j e^{-m}}{j!}$$ (principalmente porque no tiene sentido trabajar en problemas que impliquen la distribución de Poisson a menos que lo sepas), y que la parte con la que estás teniendo problemas es mostrar que $$ \frac{\left(\dfrac{m^{j+1}e^{-m}}{(j+1)!}\right)}{\left(\dfrac{m^je^{-m}}{j!}\right)} = \frac{m}{j+1}. $$

Tenemos $$ \frac{\left(\dfrac{m^{j+1}e^{-m}}{(j+1)!}\right)}{\left(\dfrac{m^je^{-m}}{j!}\right)} = \frac{m^{j+1} e^{-m}}{(j+1)!}\cdot\frac{j!}{m^j e^{-m}} = \frac{m\cdot 1\cdot2\cdot3\cdots j}{1\cdot2\cdot3\cdots j\cdot(j+1)} = \frac m {j+1}. $$