No conozco una forma inteligente de hacerlo. Pero es "fácil de comprobar" simplemente verificando que
$$\nabla_{(\alpha}K_{\mu\nu)}=0$$
está satisfecho. Me llevó una media hora en papel. No se necesita álgebra informática.
La métrica FRW espacialmente plana es en realidad
$$ds^2=-dt^2+a(t)^2(dr^2+r^2d\Omega^2)$$
que equivale a
$$ds^2=-dt^2+a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2).$$
El cálculo es especialmente sencillo en $t,x,y,z$ coordenadas. Las coordenadas espaciales son todas equivalentes, por lo que podemos considerar que los índices son $0$ (temporal) o $i$ (espacial).
Tenemos
$$g_{00}=-1;\quad g_{0j}=0;\quad g_{ij}=a^2\delta_{ij}$$
y
$$g^{00}=-1;\quad g^{0j}=0;\quad g^{ij}=a^{-2}\delta^{ij}$$
de donde se deduce que los únicos símbolos de Christoffel no nulos son
$$\Gamma^0_{ij}=-\frac{\dot a}{a^3}\delta_{ij}$$
y
$$\Gamma^i_{0j}=\frac{\dot a}{a}\delta^i_j.$$
(Hay que considerar seis casos y cada cálculo ocupa una o dos líneas).
Siguiente $u_\mu=(-1,0,0,0)$ encontramos que
$$K_{00}=0;\quad K_{0j}=0;\quad K_{ij}=a^4\delta_{ij}.$$
Utilización de la fórmula habitual para la derivada covariante de un tensor con dos índices covariantes, podemos proceder a calcular que las únicas derivadas covariantes no nulas de $K_{\mu\nu}$ son
$$\nabla_0K_{ij}=2a^3\dot{a}\,\delta_{ij}$$
y
$$\nabla_i K_{0j}=-a^3\dot{a}\,\delta_{ij}.$$
(De nuevo, hay que tener en cuenta seis casos. Cada uno de ellos ocupa unas pocas líneas. Obsérvese el segundo resultado, conceptualmente interesante, en el que la derivada covariante de una componente nula es distinta de cero, debido a que símbolos de Christoffel distintos de cero multiplican otras componentes distintas de cero).
Por último, hay que comprobar la condición del tensor de Killing en cuatro casos. Recordemos que los índices entre paréntesis deben simetrizarse sumando sobre permutaciones. Dado que $K_{\mu\nu}$ es simétrica, sólo necesitamos considerar tres de las seis permutaciones; nos limitaremos a "rotar" los índices.
Cuando los tres índices son temporales, se reduce a un término que hemos comprobado que desaparece:
$$\nabla_0 K_{00}=0.$$
Cuando dos índices son temporales y uno es espacial, es trivialmente cero porque todos los términos son cero:
$$\nabla_0 K_{0i}+\nabla_0 K_{i0}+\nabla_i K_{00}=0.$$
Cuando un índice es temporal y dos son espaciales, es no trivial cero porque los tres términos - ¡mirabile dictu! - cancelar:
$$\nabla_0 K_{ij}+\nabla_i K_{j0}+\nabla_j K_{0i}=2a^3\dot{a}\,\delta_{ij}-a^3\dot{a}\,\delta_{ij}-a^3\dot{a}\,\delta_{ij}=0.$$
Cuando los tres índices son espaciales, vuelve a ser trivialmente cero:
$$\nabla_i K_{jk}+\nabla_j K_{ki}+\nabla_k K_{ij}=0.$$
Así que
$$\nabla_{(\alpha}K_{\mu\nu)}=0$$
se cumple para todos los valores posibles de $\alpha$ , $\mu$ y $\nu$ .
