¿Cada una de estas familias está inducida por una operación asociativa?

Question

Supongamos que nos dan una operación asociativa $\star : X \times X \rightarrow X$ . A continuación, para cada $n \in \mathbb{N}_{>0}$ hay una función $f_n : X^n \rightarrow X$ dado de la siguiente manera:

$$f_n(x_0,\ldots,x_{n-1}) = x_0 \star \cdots \star x_{n-1}$$

En conjunto, la familia $f_*$ tiene:

• la propiedad de extensión izquierda:

$$f_a(\tilde{x}) = f_b(\tilde{y}) \rightarrow f_{a+1}(z,\tilde{x}) = f_{b+1}(z,\tilde{y})$$

• y la propiedad de extensión derecha

$$f_a(\tilde{x}) = f_b(\tilde{y}) \rightarrow f_{a+1}(\tilde{x},z) = f_{b+1}(\tilde{y},z)$$

que se cumplen para todos $a,b \in \mathbb{N}_{>0}$ y todos $\tilde{x} \in X^a$ et $\tilde{y} \in Y^b$ .

Si debilitamos estas condiciones para que sólo se exijan cuando $a=b$ entonces es fácil encontrar ejemplos de familias $f_*$ que no sean inducidas por una operación asociativa. Por ejemplo, la familia "promediadora $$f_n(x_0,\ldots,x_{n-1}) = \frac{x_0+\cdots+x_{n-1}}{n}$$ satisface la versión "débil" de cada propiedad de extensión.

Pregunta. ¿Es cada familia $f_*$ que satisface las propiedades de extensión a la izquierda y a la derecha inducidas por una operación asociativa?

Answer 1

Sea $X=\mathbb{N}$ y definir $f_n:X^n\to X$ por $f_n(\tilde{x})=n$ para todos $\tilde{x}$ . Entonces esto satisface trivialmente sus propiedades de extensión, pero no puede provenir de una operación asociativa.

Por otro lado, si necesita $f_1$ sea el mapa de identidad, entonces cada familia de este tipo proviene de una operación asociativa. En efecto, para cualquier $x,y,z\in X$ tenemos $f_2(x,y)=f_1(f_2(x,y))$ y así por extensión a la derecha $f_3(x,y,z)=f_2(f_2(x,y),z)$ . Del mismo modo, $f_3(x,y,z)=f_2(x,f_2(y,z))$ . Esto dice $f_2$ es asociativo y $f_3$ es la operación ternaria inducida, y argumentos similares demuestran que $f_n$ es el $n$ operación -aria para cada $n$ .