Sea $f:A\rightarrow B$ sea un homomorfismo de anillos noetherianos que hace que $B$ en una $A$ -módulo. ¿Bajo qué condiciones en $f$ , $A$ , $B$ ¿se puede asociar a este mapa un "mapa de trazas" canónico $$\mathrm{Tr}_f:B\rightarrow A,$$ es decir, un homomorfismo de $A$ -módulos $B\rightarrow A$ que es compatible con el cambio de base (tal vez con restricciones sobre el tipo de cambios de base permitidos), la localización y que recupere lo "habitual" cuando $B$ es libre en $A$ (es decir $\mathrm{Tr}_f(b) =$ el rastro del $A$ -endomorfismo lineal dado por multiplicación por $b$ en el finito $A$ -módulo $B$ )?
Estas son mis ideas hasta ahora:
1) Si $f$ es plana, siempre se tiene $\mathrm{Tr}_f$ . Sólo funciona localmente, usando que el plano finito sobre un anillo local noetheriano es libre.
2) En términos más generales, si $f$ es de dimensión Tor finita, puedo construir $\mathrm{Tr}_f$ tomando una resolución proyectiva finita
$$0\rightarrow P_n\rightarrow \cdots\rightarrow P_0\rightarrow B\rightarrow 0$$
de $B$ como $A$ -módulo: elevar la multiplicación por $b$ en $B$ a un mapa de complejos $b:P_{\bullet}\rightarrow P_{\bullet}$ y definir $$\mathrm{Tr}_f(b) := \sum_i (-1)^i \mathrm{Tr}_i(b)$$ donde $\mathrm{Tr}_i(b)$ es la traza de la (elevación de la) endomorfismo $b$ de $B$ à $P_i$ . Esto es independiente de la elección de la resolución proyectiva. Conmuta con el cambio de base "independiente de tor" (a veces llamado cambio de base "cohomológicamente transversal").
3) Si $A$ et $B$ son normales, puedo construir $\mathrm{Tr}_f$ como sigue: la localización de $f$ en cualquier ideal primo de altura 1 es automáticamente plana según Matsumura 23.1, ya que las localizaciones correspondientes de $A$ et $B$ son regulares y las dimensiones resultan (el anillo de fibras es de dimensión 0 como $f$ es finito). Así, se tiene un mapa de trazas canónico en cada localización, y puesto que $A$ et $B$ son normales, son las intersecciones de estas localizaciones así que ganamos.
4) Si $A$ et $B$ sólo se suponen reducidas, se pueden observar las inyecciones $A\rightarrow A'$ et $B\rightarrow B'$ con $A'$ et $B'$ las normalizaciones de $A$ et $B$ en sus anillos totales de fracciones. Sea $f':A'\rightarrow B'$ sea el mapa correspondiente. Por 3), obtenemos un mapa de trazas para $f'$ y todo el problema de construir el mapa de trazas para $f$ se reduce a demostrar que $\mathrm{Tr}_{f'}$ lleva $B$ en $A$ . Dejar $C_A:=\mathrm{ann}_{A'}(A'/A)$ sea el ideal conductor (con $C_B$ definido de forma similar), creo que una condición necesaria para $\mathrm{Tr}_{f'}(B)$ contenidos en $A$ es $$f'(C_A) \supseteq C_B.$$ ¿Es suficiente esta condición? Como ejemplo de cómo pueden ir mal las cosas si se incumple esta condición condición, consideremos el mapa finito entre la $k$ -álgebras ( $k$ un campo) $$k[x,y]/(xy) \rightarrow k[x]$$ mediante el envío de $y$ a 0. La normalización de $k[x,y]/(xy)$ es el producto $k[x]\times k[y]$ y el mapa de trazas adjunto a $f':k[x]\times k[y]\rightarrow k[x]$ envía $b\in k[x]$ a $(b,0)$ . Pero $(b,0)\in k[x]\times k[y]$ yace en la imagen de $k[x,y]/(xy)\rightarrow k[x]\times k[y]$ sólo si $b(0)=0$ . De ello se deduce que el mapa de trazas en las normalizaciones no se restringe a un mapa de trazas en los anillos originales.
Me alegraría asumir que $A$ et $B$ son planas $R$ -para un anillo local regular $R$ y que $f:A\rightarrow B$ es un $R$ -homomorfismo de álgebra. También me complacería suponer que $A$ , $B$ y $f$ son locales, con $A$ et $B$ intersecciones completas reducidas sobre $R$ . Me pregunto si existe un marco para los mapas de trazas en este contexto que sea lo suficientemente general como para manejar las diferentes construcciones dadas en 1) -- 4) más arriba.
