Elementos de homotopía en álgebras C

Question

Sea A una álgebra C*, A $^+$ significa A $\times$$\mathbb{C}$ dotado de suma puntual y con una multiplicación definida por:

(a, $\lambda$ )(b, $\mu$ ) = (ab + $\lambda$ b + $\mu$ a, $\lambda$$\mu$)

Si x, y $\in$ A son homotópicas en algún subconjunto de A $^+$ por ejemplo el conjunto de elementos unitarios, ¿deben ser homotópicos en A?

En general, si A es una sub-C*-álgebra de C*-álgebra B, si x, y $\in$ A son homotópicas en algún subconjunto de B, ¿deben ser homotópicas en A?

Answer 1

Si esa es tu definición, entonces cada $x,y\in A$ están en homotopía, en cualquier C $^*$ -Álgebra: sólo tienes que tomar $$\gamma(t)=(1-t)x+ty,\ \ \ t\in[0,1].$$

La respuesta a su última pregunta es no. $A=\mathbb C\oplus\mathbb C\subset M_2(\mathbb C)$ representado como $$A=\left\{\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}:\ a,b\in\mathbb C\right\}\subset M_2(\mathbb C),$$ and consider homotopy in the corresponding sets of projections. Let $$p=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\ \ q=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$ Then $p$ and $q$ are homotopic via projections in $M_2(\mathbb C)$, by $$\gamma(t)=\begin{bmatrix}t&\sqrt{t-t^2}\\ \sqrt{t-t^2}&1-t\end{bmatrix},\ \ t\in[0,1],$$ pero no son homotópicas por proyecciones en $A$ .

Con las mismas álgebras, y unitarios: $$u=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},\ \ v=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$ son homotópicas mediante unitarios en $M_2(\mathbb C)$ por $$\gamma(t)=\begin{bmatrix}\cos t\pi&\sin t\pi \\ \sin t\pi&-\cos t\pi\end{bmatrix},\ \ t\in[0,1],$$ pero no son homotópicos por unitarios en $A$ .