Ayúdame con esta pregunta sobre el límite al infinito ( https://i.stack.imgur.com/Jo52z.jpg )
$$\lim_{n \to \infty} \Big[\Big( \frac 1 n\Big)^n+\Big(\frac 2 n\Big)^n + \dots +\Big(\frac n n\Big)^n\Big]=\dots $$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
¡Menos mal que puse esa respuesta falsa! De esta manera todavía puedo resolver el problema, incluso después de su cierra. ¡LOOPHOLE!
De acuerdo, el límite es
$$x=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n \left(1-\frac{k}{n}\right)^n$$ ahora si solo tomamos la primera $k$ como límite inferior se obtiene
$$1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n+\cdots +\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\leq x$$
Y tomando el límite con $k$ fijo da
$$1+\frac{1}{e}+\cdots +\frac{1}{e^k}\leq x$$
Por otra parte $y_n=\left(1-\frac{k}{n}\right)^n$ es una secuencia creciente con $k$ arreglado (lo he comprobado con la desigualdad de Bernoulli). Así que
$$\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\leq \frac{1}{e^k}$$ y así
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{e^k}$$ es un límite superior.
Así que el límite es $$\frac{e}{e-1}$$
marty cohen
Puntos
33863
Si $k$ es pequeño en comparación con $n$ , $(\frac{n-k}{n})^n =(1-k/n)^n \approx e^{-k} $ .
Por tanto, la suma de los último $k$ términos se trata de $\sum_{j=0}^{k-1} e^{-j} =\dfrac{1-e^{-k}}{1-e^{-1}} \approx \dfrac1{1-1/e} $ para grandes $k$ .
Desde $-\ln(1-x) > x$ , $1-x < e^{-x} $ así que $1-k/n < e^{-k/n}$ o $(1-k/n)^n < e^{-k}$ .
Por lo tanto la suma de los términos después del $k$ -th es $\sum_{j=k}^{n}(1-j/n)^n \lt \sum_{j=k}^{n-1} e^{-j} =\dfrac{e^{-k}-e^{-n}}{1-e^{-1}} \lt \dfrac{e^{-k}}{1-1/e} \to 0 $ para grandes $k$ .
Por lo tanto, y creo que esto se puede hacer riguroso, la suma es $\dfrac1{1-1/e} \approx 1.5819767068693265$ .
Wolfy parece estar de acuerdo.
