Preguntas sobre el Dyson ecuación

Question

Estoy estudiando temperatura finita de muchos cuerpos teoría de la perturbación, y estoy tratando de entender La Dyson ecuación. En particular, estoy usando Mattuck - Una guía para los diagramas de Feynman en el cuerpo muchos problema.

Parece que existen dos tipos de Dyson ecuación: uno que es válido en el caso especial de no externo potencial y con diagramas calculado en $(k,w)$-espacio,

\begin{equation} G(k,w) = \frac{1}{G_0 (k,w)^{-1} - \Sigma (k,w)}. \end{equation}

Y uno válido en otras ocasiones que es una ecuación integral para $G$ que puede ser diferente dependiendo de lo que el espacio que está y si usted tiene un potencial externo o no, pero es algo así como

\begin{equation} G(k,\tau-\tau') = G_0(k,\tau-\tau') + \int_0^\beta d\tau_1 d\tau_2 G_0(k,\tau- \tau_2) \Sigma(k,\tau_2-\tau_1) G(k,\tau_1-\tau'). \end{equation}

Así que, mis preguntas:

1. ¿Qué es un potencial externo? No puedo encontrar una definición real en el libro. Al principio supuse que era la parte del sistema que usted desea para tratar perturbativa, I. e. el Hamiltoniano es $H=H_0+H_1$ donde $H_1$ es pequeña y no para ser considerada como una perturbación. Pero, obviamente, esto no puede ser el caso de lo contrario, no hay expansión para su uso en una Dyson ecuación.

2. ¿Por qué es el segundo Dyson ecuación útil? - ¿Cómo se permiten parcial sumatorias?

3. Cada libro que he mirado, parece dar ligeramente diferentes reglas para el cálculo de los diagramas de Feynman. Alguna idea sobre lo que es correcto? (por ejemplo, Negele - Cuántica de muchos sistemas de partículas es diferente a Mattuck).

Answer 1

Las dos ecuaciones son equivalentes (al menos en el físico del sentido, no voy a tratar de hacer la derivación rigurosa).

La segunda ecuación, escrito en la forma condensada lee $$G = G_0 + G_0 \Sigma G$$ o, cuando iterada (el enchufe en el lado derecho en el segundo $G$, ad infinitum), $$G = G_0 + G_0 \Sigma G_0 + G_0 \Sigma G_0 \Sigma G_0 + \cdots$$

Esta última forma es en realidad lo que uno se inicia cuando la resolución de la ecuación de evolución $$(i\partial_t - H_0 - \Sigma) G = \delta$$ Si el $\Sigma$ no depende del tiempo, que acababa de escribir $G = \exp(-it(H_0 + \Sigma))$ pero si lo hace, usted tiene que integrar, ya sea por proceso iterativo de arriba, o por tiempo ordenó exponencial, lo que es equivalente, pero no voy a entrar en eso.

En cualquier caso, uno puede formalmente suma a la anterior serie infinita para obtener $$G = G_0 {1 \over 1 - \Sigma G_0} = {1 \over G_0^{-1} - \Sigma}$$ Esta relación, en realidad no dice nada más que lo que ya hemos visto en la ecuación de evolución para $G$, es decir, que es inversa a la evolución del operador.

Ahora, a sus preguntas:

1. Externo potencial significa que parte de la posibilidad de que no es auto-energía. Considerar el líquido de Fermi. Hay electrones que interactúan por Coulomb potencial y obtener un montón de términos para la auto-energía cuando se intenta calcular los diagramas de Feynman (Hartree, Fock cambio, el potencial de detección, etc., etc.). Externos potencial que usualmente entendemos por el resto del mundo. El principal representante sería un láser de pulso, que en el caso más simple se puede modelar como la música clásica monocromática EM plano de la onda de la perturbación. O usted podría incluir los fotones + QED. Depende de lo que usted necesita.

2. Esto debería ser obvio ahora: iterar. Para cualquier pedido (en potencias de $\Sigma$) que usted necesita. Pero de orden superior que usted consigue, más lío que va a recibir. La complejidad puede ser domesticado un poco por los diagramas de Feynman, pero incluso el número de aquellos que crece rápido y en la práctica verás términos como LO, RNE y en la mayoría de los NNLO, que significa orden principal, junto a la líder de la orden, y así sucesivamente.

3. No estoy seguro de lo que quieres decir, tendría que ser más explícito. Obviamente eres libre para mover un montón de complejos $i$s y desventajas entre los diversos lugares (es decir, si para que se pongan en propagadores, vértices, integrales, etc.) y también varios combinatoria de factores (procedente de la gráfica de la cuenta). No entiendo muy bien por qué esto funciona a menos que usted va a derivar toda la maquinaria a ti mismo. Quiero decir, tratar de calcular un proceso a mano (lo que significa evaluar las integrales de vacío y expectativas de forma explícita) y luego comparar con el esquematizado enfoque. En cualquier caso, asegúrese de que los diagramas no son otra cosa que la notación abreviada para el real cálculos.