Un problema de serie por Knuth

Question

Me encontré con el siguiente problema, conocido como Knuth de la Serie que originalmente era un American Mathematical Monthly problema.

Demostrar que $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n^n}{n!e^n}-\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\right)=-\frac{2}{3}-\frac{\zeta\left(\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{2\pi}}.$$

Parece muy interesante. Estamos tratando de calcular una determinada suma del término de error en Stirlings aproximación. La inmediata métodos sencillos no parecen funcionar.

Intento: ¿por Qué $\zeta\left(\frac{1}{2}\right)$: Por parciales de suma sabemos que $$\sum_{n=1}^M \frac{1}{n^s}= \frac{M^{1-s}}{1-s}+\zeta(s)+O\left(M^{s}\right)$$ para $s>0$, $s\neq 1$. Esto nos dice donde $\frac{\zeta\left(\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{2\pi}}$ viene desde el tiempo de la

$$\sum_{n=1}^M \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}=\sqrt{\frac{2M}{\pi}}+\frac{\zeta\left(\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{2\pi}}+o(1).$$

Ahora todo lo que queda es demostrar que $$\sum_{n=1}^M \frac{n^n}{n!e^n}=\sqrt{\frac{2M}{\pi}} -\frac{2}{3}+o(1).$$

Estoy un poco atascado aquí, como esta serie que parece extraño a tratar. Gracias!

Answer 1

He aquí una serie de consejos para resumir el enfoque que apareció en el American Matemáticas Mensual. He dividido por barras horizontales, así que espero que pueda asegurarse de que usted lea solamente uno a la vez. Desafortunadamente, esta solución no parece ser muy general.

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Probar por separado lo siguiente primero: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \biggl( \frac{k^k}{k!e^k} - \frac{ (1/2)_{k-1} }{\sqrt{2} (k-1)!} \biggr) = \frac{-2}{3} $$ $$ \sum_{k=1}^{\infty} \biggl( \frac{1}{\sqrt{2\pi k}} - \frac{ (1/2)_{k-1} }{\sqrt{2} (k-1)!} \biggr) = \frac{ \zeta (1/2) }{\sqrt{2\pi}} $$ donde el aumento de los factorial se define: $ (a)_0 = 1 \mbox{ y } (a)_m = a(a+1)(a+2) \cdots (a+m-1) $

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Abel del teorema es muy útil: Si $\sum_{k=0}^{\infty} a_k $ converge, entonces $$\sum_{k=0}^{\infty} a_k = \lim_{x\to 1^{-} } \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k $$

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Algunos de potencia de la serie (tanto para $ |z| < 1 $) : $$ \mathrm{W}(z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{k-1} z^k}{k!e^k} $$ $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ (1/2)_{k-1} }{(k-1)!} z^{k-1} = \frac{1}{\sqrt{1-z}} $$ donde $\mathrm{W}(z) $ satisface $ \mathrm{W} \exp(-\mathrm{W}) = z/e $ (Véase la Función W de Lambert), y el segundo de la serie viene de Newton de la Expansión Binomial.