Demostrar que una matriz es definida positiva

Question

Nunca he hecho factorización con múltiples variables en una ecuación. He intentado buscar ejemplos, pero no he encontrado ninguno sólido. Aquí está la ecuación que estoy tratando de factorizar $$ x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 3x_{2}^{2} $$ Sé que tengo que utilizar la función de completar el cuadrado, pero no sé muy bien cómo aplicarla a este tipo de ecuación.

Editar

Esto forma parte del siguiente problema de álgebra lineal

Es lo siguiente $2 \times 2$ ¿matriz definida positiva? $$ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} $$ En caso afirmativo, escribe la fórmula del producto interior asociado.

Sé que $\textbf{x}^{T} K \textbf{x} > 0$ que es de donde saqué la ecuación anterior $$ \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 3x_{2}^{2} $$ Como se puede ver en la pregunta original, mi primer pensamiento fue factorizar la ecuación en un cuadrado perfecto para demostrar que siempre es mayor que 0, pero como un usuario mencionó en una respuesta, la ecuación no es factorizable.

Answer 1

EDIT: Parece que la pregunta es realmente para demostrar que la expresión es no negativo, en lugar de tratar de factorizarlo (ver comentarios más abajo).

Completar el cuadrado es el camino correcto. Tienes dos términos que ya son no negativos, y un término cruzado que podría ser positivo o podría ser negativo. Usted realmente quiere deshacerse de ese término cruzado, por lo que se nota que $x_1^2 -2x_1x_2$ se parece sospechosamente al conocido $x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1-x_2)^2$ . Así que puedes escribir $$x_1^2 -2x_1x_2 + 3x_2^2 = (x_1-x_2)^2 - x_2^2 + 3x_2^2 = (x_1-x_2)^2 + 2x_2^2$$ y como se trata de una suma de términos no negativos, el conjunto debe ser no negativo (y sólo puede ser cero si $x_2=0$ y $x_1=x_2$ es decir $x_1=0$ también).

Como nota final, hay formas aún más rápidas de ver que tu matriz $K$ debe ser definida positiva, por ejemplo según el criterio de Sylvester.

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Respuesta original:

Me confunde un poco que saques el tema de completar el cuadrado, ya que, aunque es una técnica útil para resolver ecuaciones cuadráticas, no está directamente relacionada con la factorización de polinomios multivariantes.

El truco habitual para factorizar este tipo de expresiones es reconocer que si se factoriza, lo hace en dos términos de la forma $$(x_1+ax_2)(x_1+bx_2)$$ para unos coeficientes desconocidos $a,b$ . Si expandes este producto e igualas los coeficientes, obtendrás un sistema de dos ecuaciones que puedes resolver para $a$ y $b$ .

Sin embargo, en tu caso particular, el polinomio no es factorial (al menos no en factores con coeficientes reales) y si intentas lo anterior obtendrás valores complejos para $a$ y $b$ .