Demostrar la desigualdad $1 - \tanh(xy) \leq \cosh(x)^{-y}$

Question

Usando algunos trucos de mecánica estadística me encontré con la desigualdad. $$ 1 - \tanh(xy) \leq \cosh(x)^{-y} $$ para todos $x,y >0$ . ¿Tiene alguna prueba (o contraejemplo)?

Answer 1

Sea $\alpha$ sea un número real positivo mayor o igual que $1$ .

Desde $f_\alpha(z)=z^\alpha:\left[0,+\infty\right[\to\mathbb{R}$ es una función convexa, resulta que

$f_\alpha\left(\frac{z_1+z_2}{2}\right)\le\frac{f_\alpha(z_1)+f_\alpha(z_2)}{2}$ para cualquier $z_1,z_2\in\left[0,+\infty\right[.$

Sea $x,y$ sean dos números reales positivos cualesquiera con $y\ge1$ obtenemos que

$f_y\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\le\frac{f_y(e^{x})+f_y(e^{-x})}{2}\;\;$ es decir

$\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^y\le\frac{e^{xy}+e^{-xy}}{2}$

$\frac{2}{e^{xy}+e^{-xy}}\le\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{-y}$

$1-\frac{e^{xy}-e^{-xy}}{e^{xy}+e^{-xy}}=\frac{2e^{-xy}}{e^{xy}+e^{-xy}}<\frac{2}{e^{xy}+e^{-xy}}\le\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{-y}$

$1-\tanh(xy)=1-\frac{e^{xy}-e^{-xy}}{e^{xy}+e^{-xy}}<\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{-y}=\left(\cosh x\right)^{-y}.$

Por lo tanto,

$1-\tanh(xy)<\left(\cosh x\right)^{-y}\;$ para cualquier $x,y\in\mathbb{R}^+$ con $y\ge1$ .

Answer 2

Es posible demostrar la desigualdad para todo $x,y\in\mathbb{R}^+$ .

Sea $x$ y $y$ dos números reales positivos cualesquiera.

Desde $$\frac{2}{e^{xy}+e^{-xy}}<\frac{2+\left(e^\frac{xy}{2}-e^\frac{-xy}{2}\right)^2} {e^{xy}+e^{-xy}}=1$$ obtenemos que

$$\frac{2e^{-xy}}{e^{xy}+e^{-xy}}<e^{-xy}.\;\;\;\;\;(*)$$

Desde $$e^{-x}=\frac{2}{2e^x}<\frac{2}{e^x+e^{-x}}$$ se deduce que $$e^{-xy}<\left(\frac{2}{e^x+e^{-x}}\right)^y.\;\;\;\;\;(**)$$

En $(*)$ y $(**)$ obtenemos que $$\frac{2e^{-xy}}{e^{xy}+e^{-xy}}<\left(\frac{2}{e^x+e^{-x}}\right)^y.$$

Además, $$1-\tanh(xy)=1-\frac{e^{xy}-e^{-xy}}{e^{xy}+e^{-xy}}=\frac{2e^{-xy}}{e^{xy}+e^{-xy}}<\left(\frac{2}{e^x+e^{-x}}\right)^y=\left(\cosh x\right)^{-y}.$$

Por lo tanto,

$$1-\tanh(xy)<\left(\cosh x\right)^{-y}\;\;\;\text{for any}\;\;x,y\in\mathbb{R}^+.$$

Answer 3

Sea $u = xy$ . Tenemos que demostrar que $1-\tanh u \le (\cosh x)^{-u/x}$ .

Desde $(\cosh x)^{-u/x} = \mathrm{e}^{-\frac{u}{x}\ln \cosh x} = \mathrm{e}^{-\frac{u}{x}\ln \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}} \ge \mathrm{e}^{-\frac{u}{x}\ln \mathrm{e}^x} = \mathrm{e}^{-u}$ basta con demostrar que $1-\tanh u \le \mathrm{e}^{-u}$ o $1 - \frac{\mathrm{e}^u - \mathrm{e}^{-u}}{\mathrm{e}^u + \mathrm{e}^{-u}} \le \mathrm{e}^{-u}$ o $\mathrm{e}^u + \mathrm{e}^{-u} \ge 2$ lo cual es cierto. Hemos terminado.