Confusión sobre los límites, concretamente sobre la definición de límite.

Question

$$\lim_{x\to0}f(x)$$ La forma más habitual de leer esto es "límite de f(x) a medida que x se acerca a 0" . Pero la cosa es que encuentro que hay una diferencia entre estos dos límites por ejemplo $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1$$ $$\lim_{x\to0}\frac{x}{5} = 0$$ Si nos fijamos en el primero, técnicamente hablando, el valor no llegará nunca a 1. Pero converge hacia él. Pero con el segundo, es hace se convierten en 0, aunque es correcto decir "a medida que x se acerca a 0, $\frac{x}{5}$ se acerca a 0" también es correcto decir "a medida que x se acerca a 0 $\frac{x}{5}$ acabará siendo igual a 0" . Esta última afirmación no suena tan correcta cuando se intenta aplicar con el primer límite.

Esto me confundió un poco, y no pude encontrar respuestas en Internet, así que durante un tiempo hice una deducción yo mismo y tuve en cuenta que "Sí, $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ en realidad nunca será igual a 1, pero será infinitesimalmente cerca de él, hasta el punto de que esta infinitesimalmente pequeña distancia no importa, concluyendo así que desde una escala mayor es igual a 1" .

Mi pregunta: ¿es correcta esta interpretación?

El gráfico de la función del primer límite lo muestra aún mejor

Edito: Perdón, he editado el ejemplo porque me he dado cuenta de que el límite infinito es un mal ejemplo.

Answer 1

No, por definición, un límite nunca "alcanza" el valor objetivo del argumento. Para evaluar un límite no debe utilizar el valor de $f(x_0)$ .

Intuitivamente, un límite es el valor que debe alcanzar el valor dado del argumento, comparándolo con los valores de la vecindad. No es el valor que do alcanzar utilizando el valor de la función.

Cuando los dos valores están definidos y coinciden (me refiero a $\lim_{x\to x_0}f(x)$ y $f(x_0)$ ), decimos que la función es continuo . Pero no tienen por qué hacerlo.

Answer 2

Supongo que el principal problema que tienes es que estás utilizando una comprensión intuitiva del límite, en lugar de una definición rigurosa. La definición rigurosa de límite en un punto finito $x_{0}$ en cálculo es la siguiente: $$\lim_{x\to x_{0}}f\left(x\right) = s \longleftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, \lvert x-x_{0}\rvert < \delta \longrightarrow \lvert f\left(x\right) - s \rvert < \epsilon.$$ Del mismo modo, la definición de límite en el infinito es la siguiente: $$\lim_{x\to\infty}f\left(x\right) = s \longleftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists y \in \mathbb{R}, \forall x, x > y \longrightarrow \lvert f\left(x\right) - s\rvert < \epsilon.$$

Ahora estoy utilizando la definición para demostrar que $\lim_{x\to 0}\frac{x}{5} = 0$ y el resto te lo dejo a ti. Dado un arbitrario $\epsilon$ siempre que $\lvert x-0\rvert < 5\epsilon$ tenemos $$\lvert\frac{x}{5}-0\rvert = \frac{\lvert x\rvert}{5} < \frac{5\epsilon}{5} = \epsilon.$$ Según la definición, tomamos $\delta = 5\epsilon$ para cada $\epsilon$ y tenemos $\lim_{x\to 0}\frac{x}{5} = 0$ .

La comprensión intuitiva es buena para introducir un concepto. Sin embargo, cuando se trata de aprender matemáticas rigurosas, es crucial comprender y utilizar una definición formal. A veces, una función no está definida en un punto, pero existe un límite en ese punto. Por ejemplo, tenemos

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1.$$ La función $\frac{\sin{x}}{x}$ no está definido en $x = 0$ pero, según la definición, el límite existe en ese punto. Por lo tanto, debes seguir estrictamente la definición formal de límite, en lugar de la comprensión intuitiva. Las matemáticas se extraen de la intuición, pero no son la intuición misma. Es un conjunto de reglas de deducción y axiomas que incorporan la intuición a la vez que muestran algo más.

Answer 3

Los límites le informan sobre el comportamiento de una función cuando obtiene cerrar hasta cierto punto, pero no realmente cuando llegas allí. Por ejemplo, $$ \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2 $$ pero esto no significa que $0/0=2$ . Este es uno de los muchos ejemplos en los que no se puede simplemente introducir el valor al que se quiere llegar y esperar obtener la respuesta. Cuando escribimos $$ \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2 $$ lo que queremos decir es que la función $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ se acercará arbitrariamente a $2$ como $x$ se acerca a $1$ . Elige un número pequeño, por ejemplo $0.00001$ . En $x$ se acerca cada vez más a $1$ (pero no lo alcanza nunca), $f(x)$ llegará a ese número de $2$ es decir, se situará dentro del rango $(1.99999,2.00001)$ . Espero que se refiriera a esto cuando dijo "infinitesimalmente cerca". Como habrá notado, a veces $$ \lim_{x \to a}f(x)=f(a) \, . $$ Si esto ocurre, se dice que la función es continua en $a$ . En tu ejemplo, $$ \lim_{x \to 0}\frac{x}{5}=0 \, . $$ El LHS evalúa a $0$ porque como $x$ se hace arbitrariamente pequeño, también lo hace el valor de $x/5$ . Sucede que enchufar $x=0$ también te da la respuesta correcta. Sin embargo, hay innumerables ejemplos de funciones que no son continuas. Un ejemplo un poco artificioso es el siguiente $$ f(x) = \begin{cases} x+10 &\text{if $x\neq0$} \\ 147 &\text{if $x=0$} \end{cases} $$ El límite como $x$ se acerca a $0$ de $f(x)$ es igual a $10$ pero $f(0)=147$ . La función parece "saltar" cuando llegamos a $x=0$ . (Ahora bien, los límites al infinito son algo totalmente distinto. $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 $$ tiene un significado bastante diferente al que hemos estado debatiendo hasta ahora. Toma, $\infty$ es sólo una forma abreviada de decir que como $x$ se hace cada vez más grande, $$ \frac{x^2-1}{x^2+1} $$ se acerca cada vez más a $1$ . No tiene sentido que $x$ para acercarse "arbitrariamente al infinito" -como probablemente te han dicho infinidad de veces, el infinito no es un número. Considere la secuencia $$ \{1,2,3,4,\ldots\} \, . $$ Por muy alto que se cuente, nunca se llega "cerca" del infinito, pero los valores de la secuencia aumentan sin límite. En este sentido $x$ se "acerca" al infinito. Y otra vez, $$ \frac{x^2-1}{x^2+1} $$ se acerca cada vez más a $1$ como $x$ se hace cada vez más grande, pero nunca lo alcanza.