Encontrar el conjunto con la condición dada

Question

Sea $S$ sea el conjunto de $(\alpha , \beta)\in \mathbb{R^2}$ tal que $\frac{x^{\alpha}y^{\beta} }{(x^2 + y^2)^{1/2} }\rightarrow 0 $ como $(x,y) \rightarrow (0,0)$

entonces $S$ se encuentra en

1. { $(\alpha,\beta) : \alpha>0, \beta> 0 $ }
2. { $(\alpha,\beta) : \alpha>2, \beta> 2 $ }
3. { $(\alpha,\beta) : \alpha+\beta> 1 $ }
4. { $(\alpha,\beta) : \alpha+4\beta>1 $ }

Lo que he probado es

Poner $ y=mx$ $ $ entonces entraremos en el poder de $x$ $ \alpha + \beta-1 $ por lo que para la convergencia a $ 0 $ damos la opción 3

Answer 1

SUGERENCIA:

La transformación a coordenadas polares revela

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^\alpha y^\beta}{(x^2+y^2)^{1/2}}=\lim_{r\to 0}r^{\alpha+\beta-1}\cos^\alpha(\theta)\sin^\beta(\theta)$$

Alternativamente, a partir de la desigualdad AM-GM tenemos $x^2+y^2\ge 2|x||y|$ para que

$$\frac{x^\alpha y^\beta}{(x^2+y^2)^{1/2}}\le \frac{x^{\alpha-1/2}y^{\beta-1/2}}{\sqrt{2}}$$