Distribución discreta con la varianza mínima

Question

Consideremos una variable aleatoria discreta $X \in \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ donde $n < +\infty$ y $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$ .

Que la pose $p_i = \text{Pr}(X = x_i)$ con $\sum_{i=1}^N p_i = 1$ .

Supongamos que el valor esperado de $X$ , $\mu_X \in [x_1, x_n]$ es conocido.

Quiero resolver el siguiente problema:

$$\left\{\begin{array}{l}\min_{p_1, p_2, \ldots, p_n} \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}[X])^2\right]\\ \text{s.t.}\\ \mathbb{E}[X] = \mu_X\\ p_i \geq 0\\ \sum_{i=1}^np_i = 1 \end{array} \right. $$ donde $$\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^n p_ix_i$$

¿Existe algún resultado general sobre este tipo de problema?

Answer 1

En cuanto al vector $p=[p_1\quad p_2\quad \cdots\quad p_n]^T$ el problema es $$\min_{p}p^Tb-\frac{1}{2}p^TQp\\ \mbox{sub. to}\\\ p^Ta=\mu_X,\ p^T1=1,\ p\ge 0\\ $$ donde $a=[x_1,\ x_2,\cdots,\ x_n]^T,\ b=[x_1^2,\ x_2^2,\cdots,\ x_n^2]^T,\ Q=2aa^T$ Se trata de un problema de optimización no lineal estándar que puede resolverse mediante el método del multiplicador de Lagrange. Tomando la tercera restricción como activa, escribimos el Lagrangiano como $$L(p,\lambda_1,\ \lambda_2)=p^Tb-\frac{1}{2}p^TQp+\lambda_1(p^Ta-\mu_X)+\lambda_2(p^T1-1)$$ La condición necesaria de primer orden es $$\nabla_p L=0\Rightarrow b-Qp+\lambda_1a+\lambda_21=0$$ Desde $Q$ es un rango $1$ puede haber infinitas soluciones de esta ecuación. Ahora la hessiana es $-Q$ y el espacio tangente es $$T=\{y:a^Ty=0,\ y^T1=0\}$$ Entonces, $\forall\ y\in T$ , $$-y^TQy=-2y^Taa^Ty=0$$ Por lo tanto, no se puede decir nada sobre la existencia de un minimizador o un maximizador. Para ello son necesarias pruebas de orden superior.