Si es verdad que para (x) implica verdad para (x + y), ¿significa esto que siempre es verdad o siempre es falso?

Question

Sea $P(x)$ alguna afirmación sobre el número real $x.$

Supongamos que $\forall x {\in} \mathbb{R} \begin{bmatrix} P(x) \implies \begin{bmatrix} \forall y {\in}\mathbb{R} \;P(x + y) \end{bmatrix} \end{bmatrix}.$

¿Es esto suficiente para concluir que $\begin{bmatrix}\forall x {\in}\mathbb{R}\; P(x)\end{bmatrix} \text{ or } \begin{bmatrix}\forall x {\in}\mathbb{R}\;\lnot P(x)\end{bmatrix}$?

Se parece un poco a la inducción:

Queremos mostrar que $\begin{bmatrix}\forall x \in \mathbb{R},\, P(x) \end{bmatrix}$

Primero mostramos que $\exists x \in \mathbb{R}:\, P(x)$

Luego tomamos $x$ como un elemento arbitrario de $\mathbb{R}$

A continuación, asumimos $P(x)$.

Luego tomamos $y$ como un elemento arbitrario de $\mathbb{R}$

Finalmente, mostramos que $P(x + y)$ también es verdadero.

Answer 1

Supongamos que $$\forall x {\in} \mathbb{R} \begin{bmatrix} P(x) \implies \begin{bmatrix} \forall y {\in}\mathbb{R} \;P(x + y) \end{bmatrix} \end{bmatrix}.$$ ¿Es esto suficiente para concluir que $$\begin{bmatrix}\forall x {\in}\mathbb{R}\; P(x)\end{bmatrix} \text{ o } \begin{bmatrix}\forall x {\in}\mathbb{R}\;\lnot P(x)\end{bmatrix>?$$

Sí, este argumento es válido. En palabras:

Para cada número que satisfaga P, P sigue siendo verdadero sin importar cómo modifiquemos ese número.

Por lo tanto, si algún número satisface P, entonces todos los números satisfacen P; por otro lado, puede ser que ningún número satisfaga P.

Por lo tanto, P debe ser universalmente verdadero o universalmente falso.

Answer 2

Sí, $\forall x {\in} \mathbb{R} \left(P(x) \implies \left(\forall y {\in}\mathbb{R} \;P(x + y) \right)\right)$ implica que $\left(\forall x {\in}\mathbb{R}\; P(x)\right) \text{ o } \left(\forall x {\in}\mathbb{R}\;\lnot P(x)\right)$.

Para ver por qué, podemos observar que $\forall y {\in}\mathbb{R} \;P(x + y)$ es equivalente a $\forall t {\in}\mathbb{R} \;P(t)$. Por lo tanto, la declaración original se puede expresar como

$$ \forall x {\in} \mathbb{R} \left(P(x) \implies \left(\forall t {\in}\mathbb{R} \;P(t) \right)\right) $$

lo cual implica

$$ \left(\forall x {\in}\mathbb{R}\; P(x)\right) \text{ o } \left(\forall x {\in}\mathbb{R}\;\lnot P(x)\right) $$

O hay ningún número real $x$ tal que $P(x)$ sea verdadero, o hay al menos uno, pero en ese caso, $P(x)$ es verdadero para cada número real $x$.

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Sin embargo, hay problemas con tu razonamiento:

Primero mostramos que $\exists x \in \mathbb{R}:\, P(x)$

No puedes hacer esto, ya que podría no haber ningún $x$ tal que $P(x)$ sea verdadero.

Queremos demostrar que $\forall x \in \mathbb{R},\, P(x)$

Esto no es lo que deseas demostrar (porque podría ser falso). Para un ejemplo de la declaración $P$ donde $P(x)$ siempre es falso pero $\forall x {\in} \mathbb{R} \left(P(x) \implies \left(\forall y {\in}\mathbb{R} \;P(x + y) \right)\right)$ es verdadero, considera $P(x)$: "$x>x+1$".

De hecho, sea $x$ un número real y supongamos que $P(x)$ es verdadero (es decir, $x>x+1$). Luego considera $y\in \mathbb R$. Tenemos $x>x+1$ así que $x+y>x+y+1$. Esto significa que $P(x+y)$ también es verdadero.

Answer 3

$\forall x(Px\implies\forall y:P(x+y))$

$\iff \forall x(Px\implies\forall y(True \implies P(x+y)))$

$\iff \forall x(Px\implies\forall y(\exists z:z=x+y \implies P(x+y)))$, esto es cierto porque el universo es el conjunto de números reales

$\iff \forall x(Px\implies\forall y\forall z(z=x+y \implies P(x+y)))$

$\iff \forall x(Px\implies\forall y\forall z(z=x+y \implies Pz))$

$\iff \forall x(Px\implies\forall y\forall z(y=z-x \implies Pz))$

$\iff \forall x(Px\implies\forall z(\exists y:y=z-x \implies Pz))$

$\iff \forall x(Px\implies\forall z(True \implies Pz))$, esto también es cierto porque el universo es el conjunto de números reales

$\iff \forall x(Px\implies\forall z:Pz)$

$\iff \exists x:Px\implies\forall z:Pz$

$\iff \neg\exists x:Px\lor\forall z:Pz$

$\iff \forall x:\neg Px\lor\forall z:Pz$

$\iff \forall x:\neg Px\lor\forall x:Px$

En conclusión, sí, ambas afirmaciones son equivalentes.