Teorema del límite central para la distribución exponencial

Question

He pasado tanto tiempo, y creo que me estoy perdiendo algo súper obvio.

La pregunta: Sean $X_1,\ldots,X_5$ cinco variables independientes de la distribución exponencial con media $2$. Escribe la función de densidad de probabilidad de $T= X_1+\cdots+X_5$

En primer lugar, me doy cuenta de que el $n=5$ parece ser muy pequeño, pero no he aprendido nada más que el Teorema del Límite Central para lidiar con muestras no normales. Si asumo que esto funciona, puedo calcular $\lambda$ a partir de la media $=1/\lambda$, y usar eso para calcular la varianza $=1/\lambda^2$. Aplicando el teorema, entonces tengo la distribución como $\approx N(2,4/5).

En este punto, no veo cómo continuar. Conozco la función de densidad de probabilidad de las distribuciones normales, pero no entiendo el significado de T y por qué es la suma de las variables aleatorias. Tiene que ser obvio, pero no lo veo.

Answer 1

Se puede demostrar ya sea por inducción utilizando la fórmula de convolución o mediante el uso de las funciones generadoras de momentos que la suma de variables aleatorias gamma independientes con el mismo parámetro de escala/tasa es a su vez una distribución gamma con forma igual a la suma de los parámetros de forma.

Para explicarlo en términos matemáticos, elige tu definición favorita de la distribución gamma, ya sea con la parametrización de tasa o de escala. Luego asume que tienes una muestra aleatoria $X_1, X_2, \ldots, X_n$ de una distribución $Gamma\left( \alpha,\beta \right)$ y define $T=\sum_{i=1}^n X_i$. Entonces, según la afirmación anterior $T\sim Gamma \left( n\alpha, \beta \right)$. Observa que esto se cumple debido a los parámetros de forma iguales, pero esto no necesariamente siempre es así. Siempre y cuando los sumandos sean variables aleatorias gamma independientes con el mismo parámetro de escala/tasa, su suma también será una variable aleatoria gamma.

La distribución exponencial es un caso especial de la amplia familia Gamma, y esto se puede ver al escribir la función de densidad de probabilidad de la distribución Gamma. Aquí está la parametrización de escala

$$f_X (x) =\begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}} & 0

Si ahora pones $\alpha=1$, obtendrás la función de densidad de probabilidad exponencial, por lo que las propiedades de la distribución Gamma también se aplican en este caso.

Según tu enfoque de TLC, diría que tu muestra es demasiado pequeña para permitir una aproximación razonable. La exponencial es una distribución sesgada y la asimetría no desaparece si solo sumas cinco variables aleatorias. De hecho, así es como se ve la distribución de la suma en el caso de una distribución exponencial "estándar" con $\beta=1$.

La forma real también dependerá del $\beta$ que controla la cantidad de asimetría, pero ya captas la idea.