La generalización de los 290 teorema.

Question

Acabo de venir a través de la notable teorema de Conway universal sobre la formas cuadráticas sobre $\mathbb{Z}$; es decir, que para determinar si un entero coeficiente positiva definida forma cuadrática representa todos los enteros positivos es suficiente para comprobar que representa un conjunto específico de 29 de enteros (la más grande de las cuales es de 290). Otros teoremas similares existen también acerca de la representación de todos los números primos o todos los números impares.

Acabo de leer el artículo de Bhargava y Hanke y encontró la prueba muy elegante. Me puse a pensar sobre si podría generalizar a otras situaciones.

Nadie ha sido capaz de extender los resultados a otros entornos? Quizás la gente ha sido capaz de probar cosas similares sobre otros anillos (como los anillos de enteros de los campos de número) o tal vez la gente todavía está pensando en quedarse en el entero caso y teniendo en cuenta que representan a otros conjuntos de números enteros o considerando la posibilidad de un mayor grado de formularios?

Answer 1

Un poco de información está disponible en formato pdf en mi página TERNARIO con lo que espero son nombres obvios.

Usted quiere mirar Rouse en todos los números impares, ROUSE. También la Representación ternaria formas cuadráticas por OLIVER. En ambos casos, algunas ineficaz límites se utilizan, para un GRH se invoca que implica la sospecha de conclusiones. Esto le da la mejor conclusión para mi papel con Kaplansky y Schiemann que tengo derecho a esperar.

Hanke ciertamente pensaba que casi cualquier cosa puede ser extendida a los anillos de enteros de algunos campos de número, y la intención de encontrar a todos los de la clase número uno de los géneros. Este fue un proyecto ambicioso, ya que se requeriría una dimensión de hasta 26. Un estudiante de Gabriele Nebe, llamado David Lorch, ha encontrado todo lo positivo de la clase número uno de las formas más $\mathbb Z,$ ver LORCH.

No creo que yo sepa de cualquier gran lista de artículos sobre la universalidad sobre el número de anillos. Hay algunos enfoques relacionados por Pete L. Cark de MO y MSE, véase el punto 15 en CLARK. En este caso, seguramente hubo alguna influencia por Hanke, quien estaba en Georgia durante algunos años.

Answer 2

Aquí está mi página web con información acerca de los 290-Teorema. Tiene vínculos con la preimpresión, toda la escalera mecánica en forma de ficheros de datos y código de computadora. En la Primavera de 2014 tuve un estudiante (Kate Thompson) graduado de LA universidad de georgia después de aprender acerca de las técnicas de análisis involucrados en hacer cálculos similares para totalmente positiva definida $\mathcal{O}_F$valores de la formas cuadráticas sobre $\mathcal{O}_F := \mathbb{Z}\left[\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right]$. Si usted está interesado en aprender más acerca de la teoría detrás de este teorema, aquí está un vídeo de la charla que dio en la universidad de Rutgers año pasado sobre ella.

Ciertamente es posible probar una versión de la 290-el Teorema de establecer la universalidad de las formas sobre el anillo de los enteros $\mathcal{O}_F$ de un arbitrario totalmente real campo de número de $F$ (modulo algunas condiciones sobre ningún ternario escalera mecánica formas aparecen), pero es altamente no trivial tarea de crear un código general de base para demostrar de lo que los números están representados por una arbitraria totalmente definido $\mathcal{O}_F$valores de una forma cuadrática en 4 variables. Esto es lo que ha hecho a lo largo de $\mathbb{Z}$ de los 290-Teorema, y luego fue utilizado en 6664 cuadráticas formas para establecer el resultado. El punto es que lo hacen sin un equipo no es factible, pero la escritura de un programa con precisión de realizar esta tarea es muy difícil y consume mucho tiempo (y puede afectar negativamente a alguien de la carrera, a menos que tengan la tenencia). Para darle un sentido, este proyecto me tomó alrededor de 4 años de trabajo centrado inicialmente para completar el desarrollo de los algoritmos de codificación y depuración, y varios años más para volver a revisar los cálculos para mi satisfacción.

Estoy seguro de que el papel aparecen como más de un preprint en algún momento, y ciertamente no es algo que he olvidado. =)