4-momentum y un $y$ componente del momento

Question

Tengo 2 sistemas de coordenadas que se mueven a lo largo de $x,x'$ eje.

He derivado una transformación de Lorentz para un $x$ componente del momento, que es una parte de un vector de 4 momentos $p_\mu$ . Esta es mi derivación:

$$ \scriptsize \begin{split} p_x &= mv_x \gamma(v_x)\\ p_x &= \frac{m (v_x'+u)}{\left(1+v_x' \frac{u}{c^2}\right) \sqrt{1 - \left(v_x' + u \right)^2 / c^2 \left( 1+ v_x' \frac{u}{c^2} \right)^2}} \\ p_x &= \frac{m (v_x'+u) \left( 1+ v_x' \frac{u}{c^2} \right)}{\left(1+v_x' \frac{u}{c^2}\right) \sqrt{\left[c^2 \left( 1+ v_x' \frac{u}{c^2} \right)^2 - \left(v_x' + u \right)^2 \right] / c^2 }} \\ p_x &= \frac{m (v_x'+u)}{\sqrt{\left[c^2 \left( 1+ v_x' \frac{u}{c^2} \right)^2 - \left(v_x' + u \right)^2 \right] / c^2 }} \\ p_x &= \frac{m (v_x'+u)}{\sqrt{\left[c^2 \left( 1+ 2 v_x' \frac{u}{c^2} + v_x'^2 \frac{u^2}{c^4} \right) - v_x'^2 - 2 v_x' u - u^2 \right] / c^2 }} \\ p_x &= \frac{mv_x'+mu}{\sqrt{\left[c^2 + 2 v_x'u + v_x'^2 \frac{u^2}{c^2} - v_x'^2 - 2 v_x' u - u^2 \right] / c^2 }} \\ p_x &= \frac{mv_x'+mu}{\sqrt{\left[c^2 + v_x'^2 \frac{u^2}{c^2} - v_x'^2 - u^2 \right] / c^2 }} \\ p_x &= \frac{mv_x'+mu}{\sqrt{1 + v_x'^2 \frac{u^2}{c^4} - \frac{v_x'^2}{c^2} - \frac{u^2}{c^2} }} \\ p_x &= \frac{mv_x'+mu}{\sqrt{\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right) \left(1-\frac{v_x'^2}{c^2} \right)}} \\ p_x &= \gamma \left[mv_x' \gamma(v_x') + mu \gamma(v_x') \right] \\ p_x &= \gamma \left[mv_x' \gamma(v_x') + \frac{mc^2 \gamma(v_x') u}{c^2} \right] \\ p_x &= \gamma \left[p_x' + \frac{W'}{c^2} u\right] \end{split} $$

Intenté derivar la transformación de Lorentz para el momento también en $y$ dirección, pero parece que no puedo conseguir relación $p_y=p_y'$ porque al final no me puedo librar de $2v_x'\frac{u}{c^2}$ y $\frac{v_y'^2}{c^2}$ . He aquí mi intento.

$$ \scriptsize \begin{split} p_y &= m v_y \gamma(v_y)\\ p_y &= \frac{m v_y'}{\gamma \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right) \sqrt{1 - v_y'^2/c^2\left( 1 + v_x' \frac{u}{c^2} \right)^2}}\\ p_y &= \frac{m v_y' \left( 1 + v_x' \frac{u}{c^2} \right)}{\gamma \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right) \sqrt{\left[c^2\left( 1 + v_x' \frac{u}{c^2} \right)^2 - v_y'^2\right]/c^2}}\\ p_y &= \frac{m v_y'}{\gamma \sqrt{\left[c^2\left( 1 + v_x' \frac{u}{c^2} \right)^2 - v_y'^2\right]/c^2}}\\ p_y &= \frac{m v_y'}{\gamma \sqrt{\left[c^2\left( 1 + 2 v_x' \frac{u}{c^2} + v_x'^2 \frac{u^2}{c^4}\right) - v_y'^2\right]/c^2}}\\ p_y &= \frac{m v_y'}{\gamma \sqrt{\left[c^2 + 2 v_x' u + v_x'^2 \frac{u^2}{c^2} - v_y'^2\right]/c^2}}\\ p_y &= \frac{m v_y'}{\gamma \sqrt{1 + 2 v_x' \frac{u}{c^2} + v_x'^2 \frac{u^2}{c^4} - \frac{v_y'^2}{c^2}}}\\ \end{split} $$

Aquí es donde termina para mí y yo necesitaría a alguien que me señale el camino y me muestran, ¿cómo puedo obtener $p_y = p_y'$ ? Sé que estoy muy cerca.

Answer 1

Así es como $p_y$ parte de un cuatromomento se junta.

\begin{equation} \scriptsize \begin{split} p &= m v \gamma(v)\\ &\Downarrow\\ p_y &= m v_y \gamma(v) = m v_y \gamma \left( \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\right) = m v_y \gamma \left( \sqrt{v_x^2 + 0 + 0}\right) = m v_y \gamma(v_x) =\\ &= \frac{m v_y'}{\gamma \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right) \sqrt{1 - \frac{\left(v_y' + u\right)^2}{c^2 \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right)^2}}} = \frac{mv_y'}{\gamma \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right) \sqrt{\frac{c^2 \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right)^2 - \left(v_x' + u\right)^2}{c^2 \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right)^2}}}=\\ &= \frac{mv_y' \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right)}{\gamma \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right) \sqrt{\left[c^2 \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right)^2 - \left(v_x' + u\right)^2\right] / c^2}} = \frac{mv_y'}{\gamma \sqrt{\left[c^2 \left(1 + v_x' \frac{u}{c^2}\right)^2 - \left(v_x' + u\right)^2\right] / c^2}}=\\ &= \frac{mv_y'}{\gamma \sqrt{\left[c^2 \left(1 + 2 v_x' \frac{u}{c^2} + {v_x'}^2 \frac{u^2}{c^4}\right) - {v_x'}^2 - 2 {v_x'}u - u^2\right] / c^2}}=\\ & = \frac{mv_y'}{\gamma \sqrt{\left[c^2 + 2 v_x' u + {v_x'}^2 \frac{u^2}{c^2} - {v_x'}^2 - 2 {v_x'}u - u^2\right] / c^2}}= \frac{mv_y'}{\gamma \sqrt{\left[c^2 + {v_x'}^2 \frac{u^2}{c^2} - {v_x'}^2 - u^2\right] / c^2}}=\\ & = \frac{mv_y'}{\gamma \sqrt{1 + {v_x'}^2 \frac{u^2}{c^4} - \frac{{v_x'}^2}{c^2} - \frac{u^2}{c^2}}}= \frac{mv_y'}{\gamma \sqrt{\left(1 - \frac{u^2}{c^4}\right) \left(1-\frac{{v_x'}^2}{c^2}\right)}}= mv_y' \gamma(v_x')\\ \end{split} \end{equation}

En nuestro caso $v_x' = v'$ y podemos modificar la última parte de esta gran ecuación de modo que obtengamos:

\begin{equation} \scriptsize \begin{split} p_y= mv_y' \gamma(v')\\ \end{split} \end{equation}

Ahora podemos ver el tr. de Lorentz y el tr. de Lorentz inverso que son:

\begin{equation} \scriptsize \begin{split} &\boxed{p_y=p_y'} ~~~\boxed{p_y'=p_y}\\ \end{split} \end{equation}