Pregunta basada en la distancia ortocentro de los puntos angulares

Question

En un triángulo acutángulo ABC, $\angle A=20^\circ $ ,sean D,E,F los pies de altitudes por A,B,C respectivamente y H el ortocentro de $\bigtriangleup ABC $ Buscar $\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}$

Desde $AH=2R cosA,AD=2R cos A+2R cos B cos C$

$\frac{AH}{AD}=\frac{2R cos A}{2R cos A+2R cosB cos C}=\frac{cos A}{cos A+cosB cos C}$

$BH=2R cosB,BE=2R cos B+2R cos A cos C$

$\frac{BH}{BE}=\frac{2R cos B}{2R cos B+2R cosA cos C}=\frac{cos B}{cos B+cosA cos C}$

$CH=2R cosC,CF=2R cos C+2R cos A cos B$

$\frac{CH}{CF}=\frac{2R cos C}{2R cos C+2R cosA cos B}=\frac{cos C}{cos C+cosA cos B}$

pero ya que sólo tenemos A dado, no B y C. ¿Cómo vamos a encontrar estas relaciones?

Answer 1

La zona $S$ del triángulo $ABC$ es la suma de las áreas de $ABH$ , $BCH$ y $CAH$ para que..: $$ S={1\over2}AB\cdot HF+{1\over2}BC\cdot HD+{1\over2}CA\cdot HE. $$

Dividiendo ambos lados por $S$ obtenemos: $$ 1={AB\over2S} HF+{BC\over2S} HD+{CA\over2S} HE. $$ Observe ahora que $AB/2S=1/CF$ , $BC/2S=1/AD$ y $CA/2S=1/BE$ por lo que podemos reescribir la igualdad anterior como: $$ 1={HF\over CF}+{HD\over AD} +{HE\over BE}. $$ Ahora introduce las igualdades obvias $HF=CF-CH$ , $HD=AD-AH$ y $HE=BE-BH$ para conseguirlo:

$$ 1={CF-CH\over CF}+{AD-AH\over AD} +{BE-BH\over BE}, $$ es decir: $$ 1=1-{CH\over CF}+1-{AH\over AD} +1-{BH\over BE} $$ y finalmente: $$ {CH\over CF}+{AH\over AD}+{BH\over BE}=2, $$ que es el resultado buscado.

BUENAS NOTICIAS:

Este resultado no depende de la amplitud de los ángulos y es válido para cualquier punto $H$ dentro del triángulo, siempre que $HD$ , $HE$ y $HF$ son perpendiculares a los lados de $ABC$ . De hecho, es una consecuencia del teorema de Viviani generalizado.

MALAS NOTICIAS:

Este resultado no se cumple si $H$ está fuera del triángulo (triángulo obtuso). Sin embargo, en ese caso ${CH\over CF}+{AH\over AD}+{BH\over BE}$ no tiene un valor fijo, por lo que no se puede responder a la pregunta.

Answer 2

He aquí una solución utilizando la geometría de puntos de masa.

Asigna los puntos de masa como sigue: $aA, bB, cC$ y que $(a+b+c)H$ sea el centro de la masa. Entonces de esto se deduce que los puntos D, E, F tienen las siguientes masas: $b+c, c+a, a+b$ respectivamente. Entonces de la definición de puntos de masa tenemos:

$$\frac{AH}{HD} = \frac{b+c}{a} \implies \frac{HD}{AH} + 1 = \frac{a}{b+c} + 1 \implies \frac{AD}{AH} = \frac{b+c+a}{b+c} \implies \frac{AH}{AD} = \frac{b+c}{a+b+c}$$

Simularmente:

$$\frac{CH}{CF} = \frac{a+b}{a+b+c} \quad \text{and} \quad \frac{BH}{BE} = \frac{a+c}{a+b+c}$$

Sumándolos obtenemos:

$$\frac{AH}{AD} + \frac{CH}{CF} + \frac{BH}{BE} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} = 2$$

El hecho de que uno de los ángulos sea $20$ grados es redundante.

Si eres nuevo en la geometría del punto de masa puedes demostrarlo fácilmente utilizando el Teorema de Menelao y Ceva. En realidad la geometría de puntos de masa es una forma implícita y más rápida de utilizar el Teorema de Menalaus y Ceva, porque si quieres utilizarlos explícitamente, necesitas encontrar la combinación correcta de rectas y triángulos.