Estoy obligado a conocer el grupo fundamental etale del grassmanniano sobre el campo racional. Lo he buscado pero no he encontrado ninguna pista. Me pregunto si hay algún resultado positivo o receta para calcularlo. Gracias.
Respuesta
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La respuesta es que cualquier Grassmanniano es geométricamente simplemente conectado, por lo que el grupo fundamental etale sobre $\mathbb{Q}$ es simplemente [ editar !!] el grupo absoluto de Galois $\operatorname{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ de $\mathbb{Q}$ .
Más en detalle: dejemos que $X$ sea una variedad geométricamente integral definida sobre $\mathbb{Q}$ , dejemos que $\overline{X}$ sea su cambio de base a un cierre algebraico $\overline{\mathbb{Q}}$ de $\mathbb{Q}$ y que $\mathfrak{g}_{\mathbb{Q}} = \operatorname{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ sea el grupo de Galois absoluto de $\mathbb{Q}$ .
1) Mediante una elección de puntos geométricos (que suprimimos), obtenemos una secuencia exacta corta de grupos profinitos
$1 \rightarrow \pi_1(\overline{X}) \rightarrow \pi_1(X) \rightarrow \mathfrak{g}_{\mathbb{Q}} \rightarrow 1$ .
2) Que $K$ sea un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ . Supongamos que o bien $X$ está completo o que $X$ es no singular [en nuestra aplicación, se cumplen ambos]. Entonces el mapa natural $\pi_1(\overline{X}) \rightarrow \pi_1(\overline{X} \otimes K)$ es un isomorfismo.
[Comentario: si en lugar de $\mathbb{Q}$ , nuestro campo de tierra era un campo $k$ de característica positiva y $K$ es un campo algebraicamente cerrado que contiene $\overline{k}$ este mapa sigue siendo un isomorfismo para las variedades completas, pero no necesariamente para todas las variedades lisas y, de hecho, ¡ni siquiera para la línea afín!]
3) Toma $K = \mathbb{C}$ . Entonces el funtor de analización induce un isomorfismo a partir de la terminación profinita del grupo fundamental topológico de $X(\mathbb{C})$ (con el $\mathbb{C}$ -topología analítica) al grupo fundamental etale $\pi_1(X \otimes \mathbb{C})$ .
4) Si $X/\mathbb{Q}$ es un grassmanniano cualquiera, entonces es no singular, completo y su analización es el grassmanniano complejo habitual, que es simplemente conexo: véase, por ejemplo.
Por lo tanto juntando las partes anteriores el grupo fundamental geométrico $\pi_1(\overline{X})$ es trivial, por lo que naturalmente tenemos $\pi_1(X) \cong \mathfrak{g}_{\mathbb{Q}}$ .
Las referencias a estos hechos pueden encontrarse, por ejemplo, en el capítulo 5 de la obra de Szamuely Grupos de Galois y grupos fundamentales .
