Estructuras CW y funciones Morse: una petición de referencia

Question

Lo siguiente es probablemente bien conocido, pero no he podido localizar una referencia en la literatura.

1. Sea $f$ sea una función de Morse sobre una variedad lisa y compacta $M$ sin límite y que $\rho$ sea una métrica de Riemann sobre $M$ . Como se explica en la teoría Morse de Milnor y en muchas otras fuentes, a partir de $f$ y $\rho$ podemos construir un complejo CW $M'$ homotopía equivalente a $M$ . Sin embargo, parece natural preguntarse si $f$ da una estructura CW en $M$ tal que el complejo de cadenas celulares correspondiente es isomorfo al complejo de cadenas celulares de $M'$ . ¿Existe alguna referencia al respecto (preferiblemente, una que contenga pruebas detalladas)?

2. Para una elección genérica de la pareja $(\rho,f)$ se puede construir un complejo en cadena (que creo que se llama complejo de Morse y) que calcula la homología de $M$ . ¿Cuál es la referencia estándar para ello? Esto se hace implícitamente en el libro h-cobordismo de Milnor, capítulo 7. ¿Es cierto que el complejo de Morse es isomorfo al complejo de cadena celular de $M'$ de la pregunta 1?

upd: la versión original del post contenía algunas afirmaciones muy erróneas y tuvo que ser reescrita.

upd1: restaurada parte de la pregunta 2 del post original. La borré pensando que sería trivial, pero parece que no lo es.

Answer 1

El resultado que busca es el teorema 4.18 de "An Introduction to Morse Theory", de Yukio Matsumoto, publicado por AMS en 2002 (traducido del japonés). En él se explican las conexiones entre las funciones de Morse, las estructuras de asas y las estructuras complejas de CW. Los cilindros cartográficos desempeñan un papel clave en la demostración del teorema, que es similar en espíritu a lo que Ryan expuso en su respuesta. Este capítulo del libro también cubre la conexión con los complejos en cadena, las desigualdades de Morse y la dualidad de Poincaré. Parece una buena exposición, aunque no he intentado leerlo detenidamente.

Answer 2

No entiendo su segunda pregunta. La teoría de Morse de Milnor sí utiliza una métrica de Riemann -- está utilizando el flujo gradiente. Para definir el gradiente necesita un producto interior en los espacios tangentes. Sin el flujo gradiente no tienes los mapas de unión celular.

En cuanto a tu 1ª pregunta, hay algo que es mucho mejor que una estructura CW. Una función Morse da una descomposición de asa del colector. Esto se puede utilizar para hablar de la estructura suave. Una descomposición CW es relativamente degenerada en comparación. La descomposición en asas se describe en las notas sobre h-cobordismo de Milnor.

Tomando más en serio tu 1ª pregunta, te encuentras con problemas técnicos. Los flujos de gradiente no proporcionan una descomposición CW de la variedad; por ejemplo, considere el ejemplo de la teoría de Morse de Milnor de un toro con función de altura. La función de Morse y sus flujos de gradiente dan un auténtico esqueleto 1 (figura 8). Pero el mapa de unión de la 2-célula (a la figura-8) no es una función continua si se utiliza el flujo de gradiente - todos los puntos excepto dos van al mínimo global de la función de altura. Esto te muestra el tipo de problemas que te encuentras si quieres producir una genuina descomposición CW del múltiple.

Así que si no va a utilizar únicamente los flujos de gradiente para definir los mapas de fijación de la descomposición CW propuesta, ¿qué permite? Todas las variedades lisas admiten descomposiciones CW, de modo que si se permiten suficientes ajustes se puede arreglar esta construcción, pero si se permiten "demasiados" ajustes, la descomposición CW no será un invariante de la función de Morse.

edit: Aquí hay una manera de ajustar el proceso. El flujo de gradiente te da un genuino 1-esqueleto. Así que toma una vecindad regular del 1-esqueleto, y perturba el campo vectorial original en esta vecindad regular para que apunte hacia el 1-esqueleto. Esto hace que los mapas de unión de 2 celdas sean continuos (terminan en un tiempo finito). A continuación, toma una vecindad regular del 2-esqueleto y perturba el campo vectorial para que apunte hacia el 2-esqueleto. De nuevo, se obtienen líneas de flujo que terminan en tiempo finito, por lo que se obtienen auténticos mapas de unión de 2 celdas. El problema es que se obtiene una descomposición CW, pero depende de algo más que de la función de Morse, ya que hay que elegir vecindades regulares suaves del esqueleto.

Answer 3

Para 2, voy a hacer la suposición simplificadora de que $f$ es "débilmente autoindexable", es decir, que si $c_1$ y $c_2$ son puntos críticos con $ind(c_1)\geq ind(c_2)$ entonces $f(c_1)\geq f(c_2)$ . Esto significa que las células se unen en el orden "correcto".

Afirmo que en este caso el complejo de homología Morse de un par Morse-Smale $(\rho,f)$ es isomorfo, ¡no sólo cuasi isomorfo! - al complejo de homología celular de la descomposición del asa. (Como indica Ryan, esta última implica $\rho$ también).

El isomorfismo envía un punto crítico de índice $k$ a la $k$ -dada por su colector descendente. Cada entrada de la matriz en el diferencial de Morse cuenta (con signos) líneas de flujo de gradiente desde un índice $k$ a un índice $k-1$ punto crítico, o equivalentemente intersecciones entre colectores descendentes y ascendentes. La entrada matricial correspondiente en el diferencial celular es el grado del mapa $S^{k-1}\to S^{k-1}$ obtenida a partir del mapa de unión mediante el colapso del $(k-2)$ -esqueleto para obtener una suma en cuña de esferas, proyectando luego a un sumando. Pero se puede "ver" este último mapa observando el flujo de gradiente descendente de los puntos de la esfera de unión durante algún tiempo fijo grande; la mayoría de los puntos acaban en el $(k-2)$ -esqueleto; los que no lo hacen son los que (aproximadamente) fluyen hacia un índice $k-1$ punto crítico. Esto hace que sea un buen ejercicio para igualar las entradas de la matriz sobre $\mathbb{Z}/2$ , y un ejercicio más doloroso para hacerlo de nuevo $\mathbb{Z}$ .

Answer 4

También puede interesarle un preprint de Cohen, Jones y Segal, Teoría de Morse y espacios clasificatorios que utiliza una función Morse para construir una categoría a partir de los puntos críticos y las líneas de flujo. El espacio de clasificación de esta categoría es homeomorfo a la variedad original (bajo ciertas condiciones sobre la función de Morse). El preprint puede consultarse en Sección "papers" de la página web de Ralph Cohen .

Answer 5

Históricamente, la primera referencia (que yo sepa) que responde positivamente a su pregunta 1 es el apéndice de F. Laudenbach en el documento:

Bismut, Jean-Michel; Zhang, Weiping Extensión de un teorema de Cheeger y Müller. (Resumen en francés) Con un apéndice de François Laudenbach. Astérisque nº 205 (1992),