En 2 dimensiones, podemos dibujar 2 rectas paralelas que tengan la misma distancia a una línea.
Quería encontrar funciones paralelas de una función y su distancia es $d$ a la función para todas las entradas y las tangentes son iguales como se muestra en la imagen.
Supongo que tenemos $f(x)$ e intentamos encontrar funciones paralelas que se llamen $g(x)$ . $g(x)$ debe tener 2 soluciones $g_1(x)$ y $g_2(x)$ como se muestra en la imagen:
Ecuaciones para hallar g(x):
Ecuación $(1)$ :Condición paralela $$f'(x_1)=g'(x_2)$$
Ecuación $(2)$ : $A(x_1,f(x_1))$ y $B(x_2,g(x_2))$ están en la misma línea. $$g(x_2)-f(x_1)=\frac{-1}{f'(x_1)}(x_2-x_1)$$
Ecuación $(3)$ d está entre $A(x_1,f(x_1))$ y $B(x_2,g(x_2))$ $$d^2=(x_2-x_1)^2+(g(x_2)-f(x_1))^2$$
$$(x_2-x_1)^2+(\frac{1}{(f'(x_1))^2}(x_2-x_1)^2=d^2$$
$$(x_2-x_1)^2+\frac{1}{(f'(x_1))^2}(x_2-x_1)^2=d^2$$
$$(x_2-x_1)^2==\frac{d^2(f'(x_1))^2}{1+(f'(x_1))^2} $$
$$x_2-x_1=+\frac{d.f'(x_1)}{\sqrt{1+(f'(x_1))^2}} $$
$$x_2-x_1=-\frac{d.f'(x_1)}{\sqrt{1+(f'(x_1))^2}} $$
si queremos encontrar la primera solución de $g(x)$
entonces necesita tomar $$x_2=x_1+\frac{df'(x_1)}{\sqrt{1+(f'(x_1))^2}} $$ y poner en Ecuación (1)
$$f'(x_1)=g'(x_1+\frac{d.(f'(x_1))}{\sqrt{1+(f'(x_1))^2}})$$ sustituir $x_1$ con $x$ m y traté de encontrar $g(x)$ $$f'(x)=g'(x+\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})$$
$$f'(x)(1+(\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})')=(1+(\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})') g'(x+\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})$$
$$\int f'(x)(1+(\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})') dx= \int (1+(\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})'). g'(x+\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}) dx$$
$$\int f'(x)(1+(\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})') dx= g(x+\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})$$
$$g(x+\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})=f(x)+\int f'(x)(\frac{d.(f'(x))}{\sqrt{1+(f'(x))^2}})') dx$$
¿Estoy en el camino correcto para encontrar $g(x)$ ? ¿Puedo encontrar g(x) después de las integraciones? Gracias de antemano.
