Pregunta sobre un tipo de números de Fermat generalizados

Question

La presente pregunta se inspira directamente en éste .

Sea $\alpha$ sea una unidad en el anillo de enteros cuadráticos de un campo cuadrático real, o, en palabras menos sofisticadas: $$\alpha=\frac{a\pm\sqrt{a^2\pm4}}{2}, $$ para algún número natural $a$ .

Sea $\bar\alpha$ sea el conjugado de $\alpha$ Eso es: $\overline{\frac{a\pm\sqrt{a^2\pm4}}{2}}=\frac{a\mp\sqrt{a^2\pm4}}{2} $ .

Ahora, para $n$ un número natural, sea $F_n(\alpha)$ sea una especie de número de Fermat generalizado, tal que $$ F_n(\alpha):= \alpha^{2^n}+\bar\alpha^{2^n}. $$

$F_n(\alpha)$ es un número natural, ya que en la expansión de $F_n(\alpha)$ todas las raíces cuadradas se anulan entre sí.

Sea $p$ sea un divisor primo impar de $F_n(\alpha)$ . ¿Es cierto que $$ p^2 \equiv 1 \pmod {2^{n+1} } $$ Edición 21/12/18: Más concretamente, ¿es cierto que
$$ p\equiv \left(\frac{a^2\pm 4}{p}\right) \pmod {2^{n+1} } $$ donde $ \left(\frac{\cdot}{p}\right)$ es el símbolo de Legendre.

Por ejemplo, con $\alpha = 2+\sqrt5$ tenemos:

$$ F_4(\alpha)= 10749957122=2\cdot769\cdot2207\cdot3167 $$ y \begin{align*} 769 &\equiv \left(\frac{5}{769}\right) = +1\pmod {2^5}\\ 2207 &\equiv \left(\frac{5}{2207}\right)=-1 \pmod {2^5}\\ 3167 &\equiv \left(\frac{5}{3167}\right)=-1 \pmod {2^5} \end{align*}

He comprobado muchos otros $\alpha$ y $n$ pero no he encontrado ningún contraejemplo.

Edición 21/12/18: una prueba debe ser como en el responder a la pregunta anterior relacionada.

Answer 1

La conjetura es cierta.

En concreto, se trata de un caso general de $\alpha=\frac 12 \sqrt{a+2} \pm \frac 12 \sqrt{a-2}$ . Entonces tenemos $\alpha^2+\alpha^{-2}=a$ y $\alpha\alpha'=1$ .

A partir de ahí generamos una serie de $\alpha^n+\alpha^{-n}$ mediante la iteración de $A(n+1)=a.A(n)-A(n-1)$ . Cuando a<2 representan las cuerdas cortas del polígono, siendo la cuerda corta la cuerda en la base de dos aristas.

Primero vemos que A(-n)=A(n).

Podemos demostrar que A(x+n)=A(n)A(x)-A(x-n). Esto corresponde a un polígono {p/n} puede ser inscrito en un polígono {p}.

Una vez hecho esto consideramos el caso modular, relativo algún primo $\pmod{p}$

El truco está en demostrar que $A(p)=a \pmod p$ lo que conduce directamente a A(p+1)=2 o A(p-1)=2.

Esto significa que algunas series C(n), dadas como C(0)=0; C(1)=1; C(n+1)=a.C(n)-C(n-1), representarán un tipo de repunidad (por ejemplo, 111111), y se aplica la teoría de la base regular. Es decir, si p | C(n), entonces p | C(mn). Por eso la serie de Fibonacci se parece a una base.

Observamos entonces que si algún p | C(n), pero para ningún valor menor de n, entonces n | p-1 o n divide a p+1, es decir, $p \mod n = \pm 1$

La razón de optar por números tipo Fermat es que $x^{n}-x^{-n}$ cuando n es una potencia de 2, no tiene otros factores algebraicos. Pero la condición es perfectamente general y acorde con la teoría ordinaria de bases.

PS. He hecho una tabla general de Cunningham para este tipo de números en cuanto a números muy grandes, (14400, en cuanto a números de 80 cifras).