¿Aplicaciones del Teorema de Ramsey infinito (sobre N)?

Question

El teorema de Ramsey finito es una herramienta combinatoria muy importante que se utiliza a menudo en matemáticas. La versión infinita del teorema de Ramsey (teorema de Ramsey para coloraciones de tuplas de números naturales) también parece ser una herramienta muy básica y potente, pero aparentemente no se utiliza tanto.

He buscado en la literatura aplicaciones del teorema de Ramsey infinito y sólo he encontrado

• generalización directa de las afirmaciones que se desprenden del teorema de Ramsey finito (ejemplo: Erdos-Szekeres ~> toda secuencia infinita de reales contiene una subsecuencia monótona) y algunas otras aplicaciones combinatorias básicas,
• Factorización de Ramsey para \omega -palabras,
• las aplicaciones originales de Ramsey a la Lógica.

¿Dónde más se utiliza el teorema del Ramsey infinito? Especialmente, ¿hay aplicaciones al análisis?

Answer 1

Matousek demostró que para cada $K\gneq 1$ todo espacio métrico infinito $X$ tiene un subespacio infinito que o bien se incrusta en la recta real por un $K$ -bi-Lipschitz o en la que las distancias de dos puntos distintos cualesquiera son iguales hasta un factor de $K$ . La prueba utiliza una aplicación iterada del teorema de Ramsey infinito.

Answer 2

Un ejemplo que me parece bastante simpático, aunque no soy lo suficientemente especialista/conocedor como para saber hasta qué punto es importante:

MR1045291 (91b:46013) El espacio de Banach $B(l^2)$ es primaria.

G. Soplador, Toro. London Math. Soc. 22 (1990), nº 2, 176--182.

Citando a Math Review:

El autor demuestra que si $A$ es un sistema de operadores inyectivo de dimensión infinita en $l^2$ y $P$ es una proyección completamente acotada sobre $A$ entonces $PA$ o $(I-P)A$ es completamente isomorfo acotado a $A$ . El autor también demuestra que si $B(l^2)$ es linealmente isomorfo a una suma directa de dos espacios de Banach, entonces es linealmente isomorfo a uno de estos espacios. Un componente interesante de su demostración es el uso de la teoría de Ramsey.

Answer 3

El teorema de Ramsey finito reforzado:

Para cualquier número entero positivo n, k, m podemos encontrar N con la siguiente propiedad: si coloreamos cada uno de los subconjuntos de n elementos de S = {1, 2, 3,..., N} con uno de k colores, entonces podemos encontrar un subconjunto Y de S con al menos m elementos, tal que todos los subconjuntos de n elementos de Y tienen el mismo color, y el número de elementos de Y es al menos el elemento más pequeño de Y.

El teorema de Paris-Harrington afirma que el teorema de Ramsey finito reforzado no es demostrable en aritmética de Peano. Véase el artículo de Wikipedia sobre el teorema de Paris-Harrington.

Answer 4

De hecho, existen usos muy profundos de los métodos teóricos de Ramsey en el análisis. Si no recuerdo mal, Gowers ganó una medalla Fields por utilizar esta conexión para responder a la mayoría de las conjeturas abiertas sobre la geometría de los espacios de Banach. Por ejemplo, utilizó estos métodos para demostrar que existe un espacio de Banach sin base incondicional de Schauder. En el libro "Ramsey Methods in Analysis", de Argyos y Todorcevic, se ofrece un buen resumen (aunque algo avanzado).

Answer 5

Eso es probablemente demasiado obvio, pero aún así - aplicaciones a ecuaciones diofantinas lineales como (el más simple de todos los ejemplos) "para cada coloración de N en un número finito de colores la ecuación x+y=z tiene una solución monocromática".