¿Aplicaciones del Teorema de Ramsey infinito (sobre N)?

Question

El teorema de Ramsey finito es una herramienta combinatoria muy importante que se utiliza a menudo en matemáticas. La versión infinita del teorema de Ramsey (teorema de Ramsey para coloraciones de tuplas de números naturales) también parece ser una herramienta muy básica y potente, pero aparentemente no se utiliza tanto.

He buscado en la literatura aplicaciones del teorema de Ramsey infinito y sólo he encontrado

• generalización directa de las afirmaciones que se desprenden del teorema de Ramsey finito (ejemplo: Erdos-Szekeres ~> toda secuencia infinita de reales contiene una subsecuencia monótona) y algunas otras aplicaciones combinatorias básicas,
• Factorización de Ramsey para \omega -palabras,
• las aplicaciones originales de Ramsey a la Lógica.

¿Dónde más se utiliza el teorema del Ramsey infinito? Especialmente, ¿hay aplicaciones al análisis?

Answer 1

El siguiente hecho ha sido denominado "Teorema de Ramsey para analistas" por H. P. Rosenthal.

Teorema. Sea $(a_{i,j})_{i,j=0}^\infty$ sea una matriz infinita de números reales tal que $a_i = {\displaystyle\lim_{j\to\infty} a_{i,j}}$ existe para cada $i$ y $a = {\displaystyle\lim_{i\to\infty} a_i}$ también existe. Entonces hay una secuencia infinita $k(0) < k(1) < k(2) < \cdots$ tal que $a = {\displaystyle\lim_{i<j} a_{k(i),k(j)}}$ .

El último límite significa que para cada $\varepsilon > 0$ hay un $n$ tal que $n < i < j$ implica $|a-a_{k(i),k(j)}| < \varepsilon$ . Cuando la matriz es simétrica y ${\displaystyle\lim_{i\to\infty} a_{k(i),k(i)}} = a$ también, se trata de un doble límite ordinario.

La prueba es una aplicación directa del Teorema de Ramsey bidimensional. Las generalizaciones obvias en dimensiones superiores también son ciertas y pueden establecerse de la misma manera utilizando el correspondiente Teorema de Ramsey en dimensiones superiores. Éstos se utilizan para construir "modelos de extensión" en la Teoría de los Espacios de Banach.

Answer 2

Más allá del infinito teorema de Ramsey sobre N, existe, por supuesto, una especie de extensión superinfinita del mismo al concepto de Cardenales de Ramsey uno de tantos cardenal grande conceptos.

La mayoría de los grandes conceptos cardinales, incluidos los cardinales de Ramsey, generalizan varias propiedades matemáticas del cardinal contablemente infinito ω a cardinales incontables. Por ejemplo, un cardinal incontable κ es un Ramsey cardenal si toda coloración de subconjuntos finitos de kappa en 2 colores (o, de hecho, menos de κ colores) admite un conjunto homogéneo de tamaño κ. Tales cardinales son necesariamente inaccesibles, Mahlo, y mucho más. La propiedad algo más débil, que toda coloración de pares (o para cualquier tamaño finito fijo) de κ a 2 colores tiene un conjunto homogéneo, es equivalente a que κ sea poco compacto una noción demostrablemente más débil, ya que todo cardinal de Ramsey es un límite de cardinales débilmente compactos. Del mismo modo, el concepto de cardinales medibles generalizar la existencia de ultrafiltros en ω, para un cardinal incontable κ se dice que es un cardinal mensurable si existe un ultrafiltro κ-completo no principal en κ.

Los cardinales de Ramsey figuran en muchos argumentos de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, si hay un cardinal de Ramsey, entonces V no es L, y los cardinales de Ramsey se consideran como una noción natural de cardinal grande que supera el límite de V=L. Otro resultado destacado es el hecho de que todo cardinal mensurable es de Ramsey (lo que no es obvio a partir de las primeras nociones). Además, si existe un cardinal de Ramsey, entonces 0 # existe . De hecho, este último argumento procede como un argumento de estilo Ramsey puro, utilizando una coloración. Es decir, si κ es Ramsey, entonces podemos colorear cada secuencia creciente finita de ordinales con el tipo que realizan en L. Por la propiedad Ramsey, debe existir un conjunto de tamaño κ, todas cuyas subsecuencias finitas crecientes realizan el mismo tipo. Es decir, existe una gran clase de indiscernibles de orden para L. Por resultados de Silver, esto es equivalente a la afirmación de que 0 # existe.

El hecho de que los cardinales de Ramsey sean estrictamente más fuertes que los cardinales débilmente compactos me sugiere que hay algo fundamentalmente más poderoso en encontrar conjuntos homogéneos para coloraciones de todos los subconjuntos finitos que sólo para pares o para subconjuntos de algún tamaño fijo. Esta diferencia no se revela en ω, para el que ambos son ciertos por el teorema infinito de Ramsey. Pero tal vez sugiere que obtendremos más potencia de Ramsey utilizando las coloraciones más potentes, ya que esto es demostrablemente el caso para cardinales más altos.

Otro punto investigado por los teóricos de conjuntos es que se sabe que encontrar conjuntos homogéneos en el caso de exponentes infinitos --es decir, colorear subconjuntos infinitos-- es inconsistente con el axioma de elección. Sin embargo, en los modelos de teoría de conjuntos en los que falla el axioma de elección, estos cardinales infinitos de Ramsey se investigan fructíferamente. Por ejemplo, bajo el Axioma de determinación hay un gran número de cardenales que realizan una relación de paritición de exponente infinito .

Answer 3

Creo que ofrece la demostración más bella del teorema de Bolzano-Weierstrass. Es una aplicación muy fácil pero hermosa del teorema de Ramsey.

Dada una secuencia $x=(x_n)$ de números reales, colorea los pares de naturales $i < j$ por si $x_i < x_j$ o $x_i \geq x_j$ . El teorema de Ramsey garantiza un conjunto monocromático infinito. Esto corresponde a una subsecuencia monótona de $x$ ; si $x$ está acotada, entonces esta subsecuencia converge.

Answer 4

El teorema de Ramsey (y otras generalizaciones como el teorema de Erdos-Rado) se utilizan en muchos argumentos estándar de la teoría de modelos que intervienen en la búsqueda de (modelos con) indiscernibles. El ejemplo más básico es quizá el teorema de Ehrenfeucht-Mostowski.

Answer 5

Fred Galvin encontró el siguiente corolario al teorema de Hindman. Hay infinitos números naturales, de modo que cualquier suma finita de ellos tiene un número impar de factores primos. En efecto, descomponiendo los números naturales en dos clases según la paridad del número de factores primos, entonces el teorema citado afirma que hay infinitos números tales que cualquier suma finita de ellos pertenece a la misma clase, es decir, tienen la misma paridad del número de factores primos. Si esta paridad es "par", entonces multiplíquelos todos por 2.