¿Demostración de la expansión de Laplace?

Question

Yo sólo aprendí la Expansión de Laplace para el cálculo de determinantes en bachillerato, me enseñaron a calcular menores cofactores y todo pero no incluyeron la demostración en el libro. He intentado ver vídeos en YouTube y hay una demostración en Wikipedia que no consigo entender nada.

Mi profesora dice que no conoce la prueba. ¿Es la prueba demasiado difícil para un estudiante de secundaria?

Answer 1

Primero tienes que entender impar y permutación par. Defina $\sigma$ como la permutación de la primera $n$ enteros positivos:

$$ \sigma=(\sigma_{1}, \sigma_{2},…,\sigma_{n}) $$

Defina $s_{i}$ como el número de $j >i$ tal que $\sigma_{i}>\sigma_{j}$ . Si $\sum_{i=1}^{n}{s_{i}}$ es impar llamamos $\sigma$ una permutación impar y una permutación par en caso contrario. Entonces definimos la $sgn$ función a continuación:

$$ sgn(\sigma)= \begin{cases} \phantom{-}1\phantom{xx}\text{even}\phantom{x}\sigma\\ -1\phantom{xx}\text{odd}\phantom{x}\sigma \end{cases} $$

También definimos una permutación especial; $\tau^{j}$ como la permutación de la primera $n$ enteros positivos excepto $j$ . Fíjate en lo siguiente:

$$ \begin{align} &\text{if}\\ &\phantom{xx}\sigma^{*}=(j,\tau^{j}_{1},\tau^{j}_{2},…,\tau^{j}_{n-1})\\ \\ &\text{then}\\ &\phantom{xx}sgn(\sigma^{*})=\left(-1\right)^{j-1}sgn(\tau^{j}) \end{align} $$

Ahora pasamos a la definición de determinante mediante la fórmula de Leibniz:

$$ |A|=\sum_{all\phantom{x}\sigma}\left(sgn(\sigma)\prod_{i=1}^{n}{a_{i,\sigma_{i}}}\right) $$

Podemos reescribir esta ecuación de la siguiente manera

$$ \begin{align} |A|&=\sum_{i=1}^{n}{\left(a_{1,i}\sum_{all\phantom{x}\sigma^{*}}{\left(sgn(\sigma^{*})\prod_{j=1}^{n-1}{a_{(j+1),\tau^{i}_{j}}}\right)}\right)}\\ \\ &= \sum_{i=1}^{n}{\left((-1)^{i-1}\phantom{x}a_{1,i}\sum_{all\phantom{x}\tau^{i}}{\left(sgn(\tau^{i})\prod_{j=1}^{n-1}{a_{(j+1),\tau^{i}_{j}}}\right)}\right)}\\ \\ &= \sum_{i=1}^{n}{\left((-1)^{i-1}\phantom{x}a_{1,i}|A_{(1)(i)}\phantom{.}|\right)} \end{align} $$

Arriba, $A_{(1)(i)}$ es la matriz $A$ con la primera fila y $i$ -ésima columna suprimida. Creo que la última parte te es familiar ya que has aprendido sobre menor, cofactor, etc..

Answer 2

YouTube - Demostración del teorema de la expansión del cofactor - Brian V

Este vídeo de YouTube puede ayudarte.