Siempre he querido sentarme y pensar en algunos ejemplos. OK, lo tengo. Creo que lo siguiente funciona en cualquier campo (incluyendo campos finitos y campos numéricos) y por lo tanto debe ser estándar (a menos que haya pasado algo por alto).
Sea $E$ y $E'$ sean curvas elípticas no isógenas sobre un campo $k$ (es decir, no hay mapas distintos de cero entre ellos sobre $k$ ), y $G$ un esquema de grupo de orden primo $p$ en $k$ que se produce dentro de ambos $E$ y $E'$ . Fijar tales incrustaciones. (Por ejemplo, $E$ y $E'$ sobre un campo numérico con división $p$ -torsión y $G = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ incrustado en cada uno). Insertar $G$ diagonalmente en $E \times E'$ y que $A = (E \times E')/G$ .
Afirmo que cualquier polarización de $A$ en $k$ tiene grado divisible por $p$ . (Así, esto da ejemplos de superficies abelianas sin polarización principal, y también en char. $p > 0$ ejemplos sin polarización separable utilizando curvas elípticas ordinarias no isógenas). Supongamos lo contrario, y dejemos que $\phi:A \rightarrow A^{\rm{t}}$ denotan la isogenia simétrica que "es" tal polarización (nunca estoy seguro de si deberíamos llamar a $\phi$ la polarización, o ser más simétrico y llamar $(1,\phi)^{\ast}(\mathcal{P}_A)$ en $A \times A^{\rm{t}}$ la polarización), por lo que ${\rm{deg}}(\phi) = d^2$ donde $p$ no divide $d$ .
Debido a la definición de $A$ el mapa $j:E \rightarrow A$ inducida mediante la inclusión en el primer factor de $E \times E'$ seguida de proyección tiene núcleo trivial y por tanto es una subvariedad cerrada. También existe el mapa dual $j^{\rm{t}}:A^{\rm{t}} \rightarrow E^{\rm{t}}$ y por el teorema general de las polarizaciones el mapa compuesto $$f:E \stackrel{j}{\rightarrow} A \stackrel{\phi}{\rightarrow} A^{\rm{t}} \stackrel{j^{\rm{t}}}{\rightarrow} E^{\rm{t}}$$ es una isogenia simétrica que "es" una polarización de $E$ . En particular, debe tener grado cuadrado. Asimismo, obtenemos una isogenia simétrica $f':E' \rightarrow {E'}^{\rm{t}}$ que "es" una polarización de $E'$ .
Consideremos el mapa cociente $q:E \times E' \rightarrow A$ que es una isogenia de grado $p$ . El mapa dual $$q^{\rm{t}}:A^{\rm{t}} \rightarrow (E \times E')^{\rm{t}} \simeq E^{\rm{t}} \times {E'}^{\rm{t}}$$ es también una isogenia del mismo grado, y el mapa compuesto $$E \times E' \stackrel{q}{\rightarrow} A \stackrel{\phi}{\rightarrow} A^{\rm{t}} \stackrel{q^{\rm{t}}}{\rightarrow} E^{\rm{t}} \times {E'}^{\rm{t}}$$ debe ser un producto directo de un par de mapas $E \rightarrow E^{\rm{t}}$ y $E' \rightarrow {E'}^{\rm{t}}$ desde $E$ y $E'$ se supone que no son $k$ -isógeno. Estos mapas deben ser respectivamente $f$ y $f'$ tal y como se ha definido anteriormente. En particular, dado que el grado de $\phi$ no es divisible por $p$ pero los grados de $q$ y $q^{\rm{t}}$ son iguales a $p$ y además cada uno de $f$ y $f'$ tiene grado cuadrado, concluimos que una de $f$ o $f'$ tiene grado no divisible por $p$ y la otra tiene grado divisible por $p^2$ . Pero una curva elíptica tiene una polarización única de cada grado cuadrado $m^2$ es decir, el compuesto de $[m]$ con la autodualidad canónica (con el signo correcto para obtener la condición de amplitud). En particular, el núcleo es el $m$ -torsión. Se deduce que una de $f$ o $f'$ tiene núcleo con trivial $p$ -parte, y el otro tiene núcleo que contiene todo el $p$ -torsión.
Ahora $E$ y $E'$ son cada una subvariedades naturalmente abelianas de $A$ y $\phi$ es un isomorfismo en $p$ -grupos divisibles (ya que el grado es primo a $p$ ), por lo que el $p$ -de los respectivos núcleos de $f$ y $f'$ debe estar donde cada uno se encuentra con el $p$ -parte del núcleo de $q^{\rm{t}}$ . Para uno de $f$ o $f'$ , este es todo el $p$ -de la curva elíptica correspondiente, y en particular contiene $G$ . Pero $E$ y $E'$ en $A$ se reúnen en exactamente $G$ (esquema-teórico) debido a la construcción de $A$ de donde $G$ se encuentra en ambos núcleos. Pero uno de los núcleos tiene trivial $p$ -parte. Contradicción.
