¿Existe algún problema físico que sea indecidible en Zermelo-Fraenkel-Choice ¿teoría de conjuntos? Algo relacionado con grupos abelianos libres y El problema de Whitehead ¿Quizás?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Existen numerosas cuestiones sobre la naturaleza de las soluciones a ecuaciones diferenciales específicas que son indecidibles computacionalmente y que, por tanto, admiten numerosas instancias específicas cuya solución tiene una naturaleza independiente de ZFC o de cualquier otra teoría consistente fija.
Por ejemplo, en el documento La delimitación del dominio de definición es indecidible para EDO polinómicas los autores Graca, Buescu y Campagnolo demuestran que la cuestión de si la ecuación diferencial $\frac{dx}{dt}=p(t,x)$ con la condición inicial $x(t_0)=x_0$ donde $p$ es un vector de polinomios, tiene solución con dominio no acotado o no, es indecidible computacionalmente.
Lo que quiero decir es que siempre que un problema como éste sea indecidible computacionalmente, entonces se deduce que infinitas instancias específicas del mismo son también indecidibles demostrablemente en cualquier teoría verdadera consistente fija, como PA o ZFC (o ZFC + cardinales grandes). La razón es que si una teoría verdadera consistente fuera capaz de resolver todas las instancias de la cuestión, salvo un número finito, entonces el problema original sería decidible por el algoritmo que simplemente buscara pruebas. Se puede escribir una EDO polinómica muy específica, de tal manera que no se pueda probar o refutar en ZFC si tiene o no una solución no acotada.
Creo que hay muchos otros ejemplos similares. Recuerdo haber oído en mis tiempos de estudiante de posgrado que ejemplos similares, como la cuestión de si un sistema dinámico dado es caótico o no, también es indecidible en general. Por lo tanto, estas otras cuestiones también admiten numerosos casos de independencia ZFC.
