Unidades ciclotómicas módulo $p$ -potencias en la torre ciclotómica

Question

Sea $E$ sea el grupo unitario del campo ciclotómico $L_n=\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})$ donde $\zeta_{p^n}$ es una primitiva $p^n$ -enésima raíz de la unidad. Sea $G=Gal(L_n/\mathbb{Q})$ y que $\Delta=Gal(L_1/\mathbb{Q})$ . Si dejamos que $\omega: (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} \to \mu_{p-1}\in \mathbb{Z}_p$ sea el carácter de Teichmuller (que también podemos considerar como un carácter a $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ reduciendo a módulo $p^n$ ), entonces podemos incrustar $\Delta$ en $G$ enviando $\sigma_a \mapsto \sigma_{\omega(a)}$ . De este modo, $E$ es un $\Delta$ -y $E/E^p$ es un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[\Delta]$ -módulo. Definamos los idempotentes habituales para $i=0,\dots,p-2$ \begin{align*} \theta_i=-\sum_{a=1}^{p-1}a^i\sigma_{\omega(a)}^{-1} \end{align*} y se descomponen $E/E^p$ como una suma directa de sus eigenspaces de la forma habitual. Ahora bien, si además suponemos que $p$ es regular, entonces $p$ no divide el índice de las unidades ciclotómicas en el grupo unitario completo por lo que podemos tomar unidades ciclotómicas como generadores para cada uno de los subespacios. En el libro de Washington se demuestra que cuando $n=1$ , $\theta_i(E/E^p)=0$ para impar $i \neq 1$ , $\theta_1(E/E^p)=\langle \zeta_p \rangle$ , $\theta_0(E/E^p)=0$ y $\theta_i(E/E^p)\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para incluso $i\neq 0$ . Además, si $g$ es una raíz primitiva módulo $p$ tenemos que \begin{align*} E_i=\prod_{a=1}^{p-1}\Big(\zeta^{(1-g)/2}\frac{1-\zeta^g}{1-\zeta}\Big)^{a^i\sigma_a^{-1}} \end{align*} son generadores de $\theta_i(E/E^p)$ e incluso $i$ . En $n>1$ las cosas no son tan sencillas. Los componentes impar son los mismos ya que cada unidad en $L_n$ es un producto de una raíz de la unidad y una unidad real y las componentes Impares de las unidades reales desaparecen. Lo que me cuesta es determinar las componentes pares. Para la $n=1$ caso, había una conjetura sencilla, quizá ingenua, que resultó ser cierta: si $E_{+}$ es el grupo de unidades reales, entonces $E_{+}/E_{+}^p\cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{(p-3)/2}$ por el teorema de la unidad de Dirichlet, el $0$ -desaparece ya que $\theta_0$ es sólo la inversa de la norma, por lo que la conjetura obvia es que el resto de $(p-3)/2$ los eigenspaces pares son todos cíclicos de orden $p$ . Para $n>1$ El $0$ -no desaparece necesariamente, ya que no es una norma para $\mathbb{Q}$ sino una norma del subcampo de grado $p^{n-1}$ en $\mathbb{Q}$ . También, $E_{+}/E_{+}^p \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{p^{n-1}(p-1)/2-1}$ así que, a menos que esté pasando algo por alto, no parece obvio cómo deberían distribuirse los tamaños de los componentes.

Lo que sí tengo es un conjunto de generadores para $E_{+}/E_{+}^p$ : Si $g$ es una raíz primitiva módulo $p^n$ entonces \begin{align*} \zeta_{p^n}^{(1-g)/2}\frac{1-\zeta_{p^n}^g}{1-\zeta_{p^n}} \end{align*} genera las unidades ciclotómicas reales módulo $\{\pm 1\}$ en $\mathbb{Z}[G]$ de modo que al golpear todos los conjugados de Galois de estos elementos con los idempotentes $\theta_i$ nos dará un conjunto de generadores para los componentes, pero será redundante.

¿Alguien ha encontrado un análisis de esta descomposición o algo relevante?

Answer 1

Tal vez no sea consciente del nivel profundo de su pregunta. Se conoce una respuesta parcial, en estrecha relación con la llamada Conjetura Principal de Iwasawa (ahora un teorema de Mazur-Wiles (1984) cuando el campo base es $\mathbf Q$ y Wiles (1990) cuando se trata de un campo numérico totalmente real). Atengámonos aquí a sus hipótesis y notaciones pero, para simplificar, supongamos $p$ impar y considerar sólo campos totalmente reales y partes pares (por lo que + desaparece de los índices). Dado un grupo abeliano $B$ de tipo finito, $B/pB$ es naturalmente un $\mathbf F_p$ -de dimensión finita.

Recordemos que el subgrupo $C_n$ de unidades ciclotómicas dentro de $E_n$ tiene índice finito igual al número de clase $h_n$ . Aplicando el lema de la serpiente a la secuencia exacta $1 \to C_n \to E_n \to E_n/C_n \to 1$ derivamos (con notaciones obvias) una secuencia exacta de espacios vectoriales $ 1\to (E_n/C_n)[p] \to C_n/C_n^p \to E_n/E_n^p \to (E_n/C_n)/p \to 1$ de modo que $dim E_n/E_n^p= dim C_n/C_n^p$ y el problema se devuelve al estudio de la $dim C_n/C_n^p$ . Por supuesto, esto sigue siendo válido cuando se trabaja con caracteres, es decir, aplicando idempotentes de $\Delta$ . Este enfoque presenta al mismo tiempo una ventaja ( $C_n$ se conoce más o menos "explícitamente") y un inconveniente (la intervención indirecta del $p$ -grupos-clase $A_n$ que son el principal misterio aritmético). Nótese que se sabe que la conjetura de Vandiver se "propaga" a lo largo de la torre ciclotómica, por lo que el problema de los grupos de clase desaparece en ese caso.

Sin Vandiver, el punto de vista de la teoría de Iwasawa es estudiar la $A_n$ no uno por uno, sino todos juntos, más precisamente estudiar $structurally$ el sistema proyectivo $Y_{\infty}:=\varprojlim A_n$ en relación con las normas. En realidad $Y_{\infty}$ está dotada de una estructura canónica de módulo de torsión noetheriano sobre el álgebra $\Lambda:=\varprojlim \mathbf Z_p[\Gamma_n]$ où $\Gamma_n=Gal(L_{\infty}/\mathbf Q_n)$ . El punto técnico principal es que el álgebra aparentemente complicada $\Lambda$ es isomorfa al álgebra completa de series de potencias $\mathbf Z_p [[T]]$ que permite adjuntar a cada torsión noetheriana $\Lambda$ -módulo $Z$ una serie de potencias característica $char_{\Lambda} (Z)$ que describe la $\Gamma$ -acción sobre $Z$ análogamente al polinomio característico unido a un mapa lineal que actúa sobre un espacio vectorial sobre un campo. Para abreviar una larga historia, Iwasa introdujo una importante aritmética $\Lambda$ -módulo $X_{\infty}$ definido como el grupo de Galois sobre $L_{\infty}$ del pro- abeliano máximo $p$ -extensión de $L_{\infty}$ que está unramified fuera $p$ y demostró en un célebre artículo (1964) que su MC es equivalente a $char_{\Lambda}(X_{\infty})= char_{\Lambda} (E^1_{\infty}/ C^1_{\infty})$ . Para simplificar, no explico los índices superiores $(.)^1$ Basta con decir que representan pequeñas modificaciones de $E_{\infty}$ y $C_{\infty}$ (véanse las anotaciones al principio de [CS]). Este fue el paso crucial justo antes de la prueba final de Mazur-Wiles del MC, que expresa $char_{\Lambda}(X_{\infty})$ en términos de $p$ -(véase el thm. 1.4.3 de [CS]).

Para volver a nuestro problema original, recordemos que en el curso de su teorema, Iwasawa demostró que $C^1_{\infty}$ es $\Lambda $ -cíclico, generado por el proj. lim. de un sistema "explícito b de unidades ciclotómicas (lema 4.3 de [CS]). Para "bajar" a la $n$ -ésimo nivel, sólo tenemos que tomar el $\Gamma_n$ co-invariantes de $C^1_{\infty}$ y b . Aplicando idempotentes, podemos obtener en pricipio la descomposición semisimple a lo largo de $\Delta$ de $C_n/C_n^p$ . Sólo "en principio", porque la descripción de las coinvariantes de b aunque "explícito", sigue sin ser lo bastante preciso sin Vandiver. En realidad, por los llamados "teoremas de reflexión", la situación es análoga a la descomposición semisimple del $\mathbf F_p$ -espacios vectoriales $A_n/{A_n}^p$ .

Ref. En lugar del libro de Washington, en el caso particular del campo base $\mathbf Q$ , prefiero la monografía [CS] de J. Coates y R. Sujatha, "Cyclotomic Fields and Zeta Values", Springer Mono. in Math., donde las simplificaciones debidas al campo base permiten delinear mucho más claramente el flujo de argumentos.