¿Es posible un embaldosado plano "bonito" en el que cada baldosa tenga 7 (8, 9, ...) vecinos?

Question

¿Es posible un embaldosado plano "bonito" en el que cada baldosa tenga 7 (8, 9, ...) vecinos?

Con "agradable" me refiero:

• El embaldosado es (preferiblemente) periódico.
• Las fichas proceden de un conjunto finito
• Las baldosas en sí son "bonitas" (no degeneradas, sin agujeros, conectadas). No pasa nada si las baldosas no son convexas.

Parece una pregunta sencilla, pero me falta terminología para hacer una búsqueda adecuada.

¿Existen resultados generales de las posibilidades de embaldosado en términos de número de vecinos que pueda consultar? (Por ejemplo, si quiero saber si existe un embaldosado en el que cada celda como $m$ , $n$ ..., o $p$ vecinos).

(He visto esta pregunta ¿Por qué no es posible una teselación del plano por un polígono convexo de 7 o más lados? pero esto no es exactamente lo que me interesa).

(Antecedentes: Soy autor de un Rejillas que permite a los programadores configurar varios tipos de cuadrículas para la programación de juegos. Un cliente me preguntó si en el futuro tendríamos cuadrículas octogonales, y yo me pregunté si sería posible.)

Answer 1

Supongamos que es posible. Tome una gran región de azulejos. Ponga un marco a su alrededor, y luego hacer un nuevo polígono de encuadre que toca todos los azulejos exteriores.

Mapea este mapa en una esfera, y añade un punto al polígono de encuadre para que no esté perforado.

A partir de ahí, tenemos un poliedro. Si todas las fichas tienen 5 ó 6 lados, entonces habrá exactamente 12 pentágonos mediante V+F-E=2 de Euler. Los fullerenos enumeran un número variable de hexágonos.

Lamentablemente, no es posible que todos los polígonos toquen a otros 7 o más en esta esfera. Eso sobrecarga V+F-E=2. Es posible utilizar sólo heptágonos en superficies de género superior. Por ejemplo, la cuártico klein utiliza 24 heptágonos en un toroide de tres agujeros.