Sea $X = \{G_1,G_2,...,G_n\},$ donde $G_i$ son grupos bajo alguna operación $*$ . Es $X$ un grupo bajo $\oplus$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Debes entender mal.
$$G_{1}\oplus...\oplus G_{n}$$ es efectivamente un grupo y se denomina suma directa de $G_{1},...G_{n}$ pero $\oplus$ no es la operación del grupo.
Denote $*_{i}$ como la operación de grupo $G_{i}$ y que $$(g_{1},...g_{n}),(g_{1}',...g_{n}')\in G_{1}\oplus...\oplus G_{n}$$ (es decir $g_{i},g_{i}'\in G_{i})$ .
El funcionamiento de $G$ que se denotará por $*$ se define por $$(g_{1},...g_{n})*(g_{1}',...g_{n}'):=(g_{1}*_{1}g_{1}',...,g_{n}*_{n}g_{n}')$$
Si cree que $\oplus$ es la operación significa que $\forall i,j:\, G_{i}\oplus G_{j}:=G_{k}$ para algunos $1\leq k\leq n$ y dudo que sea eso lo que querías decir.
¿Cuál va a ser el elemento de identidad de tu grupo, el grupo $E$ tal que $E\oplus G=G$ para todos $G$ ? Supongo que tiene que ser el grupo de un elemento.
Pero entonces, ¿dónde se encuentran los inversos? Dado un grupo $G\ne E$ ¿cómo puede haber un grupo $H$ tal que $G\oplus H=E$ ?
Parece que sólo habrá algunos casos muy especiales en los que $X$ es un grupo bajo $\oplus$ .
Para añadir un poco a lo que ya han dicho otros: No, en general lo que tienes no es un grupo. Lo "primero" que necesitarías para que esto fuera un grupo es que $G_i\oplus G_j \in X$ para todos $i,j$ . Así que no se puede tomar un conjunto arbitrario de grupos.
Un ejemplo sencillo de cuándo funcionaría es cuando $X = \{E \}$ où $E = \{1\}$ . Aquí $E\oplus E \simeq E$ .
Al pensar en esto, recuerde que si el $G_i$ s son finitos, entonces el orden de $G_i\oplus G_j$ es el producto de los órdenes de los dos grupos.