Sea $n$ sea un número entero positivo impar. Demuestre que $24 \vert(n^3-n).$

Question

Sea $n$ sea un número entero positivo impar. Demuestre que $24 \vert(n^3-n).$

Así que desde $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ tenemos que $3\vert(n^3-n).$

También ya que tenemos que $n$ es impar podemos decir que $n=2k+1$ para algunos $k \in \mathbb{Z^+}.$

Esto implica que $(n+1) = 2k +2 = 2(k+1)$ Por lo tanto $2\vert(n+1).$ Lo mismo puede decirse de $(n-1)$ .

Ahora $24 = 2 \cdot 3 \cdot 4$ así que esencialmente sólo me falta la parte en la que tendría que demostrar que $4$ divide algunos términos. ¿Cómo puedo encontrarlo?

Answer 1

Si $n$ es impar, entonces tanto $n-1$ y $n+1$ están en paz.

O bien $n-1$ o $n+1$ debe ser múltiplo de $4$ ya que para cada par de números pares consecutivos, uno de ellos es múltiplo de $4$ .

Por lo tanto $8$ divide $n^3-n$ .

Answer 2

Sólo queda por mostrar $8\mid (n-1)n(n+1)$ .

Observe, para un impar $n$ uno de $n-1$ y $n+1$ es divisible por $2$ y otra es divisible por $4$ .

Así que $(n-1)(n+1)$ es divisible por $8$ si $n$ es impar.

Answer 3

Sea n un número entero positivo impar, por lo que $n=2k+1$ así que $$n^3-n=(n-1)n(n+1)\\ =(2k+1-1)(2k+1)(2k+2)\\=2k(2k+1)(2k+2)\\=4k(k+1)(2k+1)\\=4\underbrace{k(k+1)}_{even=2q}(2k+1)\\=4(2q)(2k+1)$$