Recuerdo que al principio, había un axioma para $(n+1)$ -dimensional TQFT que decía que el espacio de estado $V(\Sigma)$ asignado a un $n$ -dimensional orientada se extiende por las invariantes de todas las $n+1$ -de las variedades orientadas tridimensionales $M$ con $\partial M=\Sigma$ . Si llamamos invariante de $M$ , $Z(M)\in V(\Sigma)$ Este sólo dice que $V(\Sigma)$ se extiende por todos los $Z(M)$ . Quizá estuviera en las notas de Segal sobre Swansea, quizá en una versión temprana de los axiomas de Atiyah. No parece haber llegado en "La Geometría y la Física de los Nudos"
Por ejemplo, si se lee "Topological Quantum Field Theories Derived from the Kauffman Bracket" de Blanchet, Habegger, Masbaum y Vogel, la hipótesis del vacío está implícita en sus construcciones.
Existe un teorema según el cual la categoría de álgebras de Frobenius es equivalente a la categoría de $1+1$ -TQFT's dimensionales. Por ejemplo $A=\mathbb{C}[x]/(x^3)$ con el mapa de Frobenius $\epsilon(1)=\epsilon(x)=0$ y $\epsilon(x^2)=-1$ . Esta es la elección que hizo Khovanov para construir su $sl_3$ -invariante de enlaces. En este punto, nadie negaría que esto da lugar a un TQFT.
El espacio de estados asociado a un círculo es simplemente $A$ . En $2$ -con límite el círculo se clasifican por género. Utilizando la TQFT para calcularlos, obtengo que un disco tiene invariante $1$ una superficie de género uno con una componente límite tiene invariante $3x^2$ y cualquier otra superficie tiene invariante $0$ . Las invariantes no abarcan $A$ .
El problema, como aprendí de Chris French, es que $A$ no es semisimple. De hecho, $A$ que se extiende por los invariantes de superficies con una componente de contorno es equivalente a la semisimplicidad de $A$ .
Esta es mi pregunta. ¿En qué momento y por qué se abandonó la hipótesis del vacío?
