Función Zeta de Riemann y números de Bernoulli

Question

¿Cómo podemos demostrar la expresión

$$\zeta(4m + 4) + 2\sum_{k = 0}^{m - 1}(-1)^k\zeta(4m + 2 - 2k)\zeta(2k + 2) + (-1)^m\zeta(2m + 2)\zeta(2m + 2) \\ = 2^{4m + 2}\pi^{4m + 4}\sum_{k = 0}^{2m + 2}(-1)^{k + 1}\dfrac{B_{2k}B_{4m + 4 - 2k}}{(2k)!(4m + 4 - 2k)!}$$

donde $B_m$ es el $m$ -ésimo número de Bernoulli y $\zeta(m)$ es la función Zeta de Riemann.

He intentado este problema durante bastante tiempo y después de leer algunos libros sobre la función Zeta de Riemann y su relación con el número de Bernoulli he encontrado que

$$\zeta(2m) = (2\pi)^{2m}\dfrac{(-1)^{m - 1}B_{2m}}{2(2m)!}$$

Se trata de la conocida función Zeta de enteros de valor par. Utilizando la fórmula anterior para la función zeta de valor par, he intentado sustituir el valor de $\zeta(4m + 4)$ , $\zeta(2m + 2)$ , $\zeta(4m + 2 - 2k)$ y $\zeta(2k + 2)$ en la expresión para mostrar que LHS = RHS. Sin embargo, cuando empezamos a sustituir y simplificar, se vuelve más complicado y extraño. Es decir, los cálculos se complican después de la sustitución.

Me pregunto si se puede simplificar más el LHS para que las sustituciones sean más fáciles, o si se puede simplificar más el RHS. Aunque no estoy seguro. Me pregunto si hay una buena solución que no haga uso del Análisis Complejo.

No sé cómo extraer el lado derecho del lado izquierdo. Estoy buscando una respuesta detallada con un enfoque utilizando la sustitución de la función zeta de valor par. Sin embargo, todos los enfoques son bienvenidos. Su ayuda será muy apreciada.

Agradezco enormemente su tiempo y sus esfuerzos. Gracias de antemano.

Answer 1

En efecto, se trata sólo de una cuestión de sustitución. Primero simplifiquemos un poco la identidad: $$\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^k\zeta(4m+2-2k)\zeta(2k+2)=\sum_{k=1}^m(-1)^{k-1}\zeta(4m+4-2k)\zeta(2k)\tag{1}$$ después de $k\mapsto k-1$ para que, después de $m\mapsto m-1$ en todas partes, tenemos que demostrar $$\zeta(4m)+2\sum_{k=1}^{m-1}(-1)^{k-1}\zeta(2k)\zeta(4m-2k)+(-1)^{m-1}\zeta(2m)^2\tag{2}\label{LHS}$$ $$=2^{4m-2}\pi^{4m}\sum_{k=0}^{2m}(-1)^{k-1}\frac{B_{2k}B_{4m-2k}}{(2k)!(4m-2k)!}.\tag{3}\label{RHS}$$ El LHS \eqref {LHS}, tras la sustitución de los valores de $\zeta$ es $$-\frac{(2\pi)^{4m}B_{4m}}{2(4m)!}+\frac{(2\pi)^{4m}}{2}\sum_{k=1}^{m-1}(-1)^{k-1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\frac{B_{4m-2k}}{(4m-2k)!}+(-1)^{m-1}\left(\frac{(2\pi)^{2m}B_{2m}}{2(2m)!}\right)^2.\tag{4}\label{result}$$ Si denotamos el sumando común $(-1)^{k-1}\dfrac{(2\pi)^{4m}}{4}\dfrac{B_{2k}}{(2k)!}\dfrac{B_{4m-2k}}{(4m-2k)!}$ por $a_k$ entonces $$(3)=\sum_{k=0}^{2m}a_k,\qquad(4)=2a_0+2\sum_{k=1}^{m-1}a_k+a_m,$$ y estos son iguales porque $a_k=a_{2m-k}$ .