Por un lado, Wikipedia sugiere que toda distribución define una medida de Radon:
Por otro lado, Terry Tao y LK sugieren que no:
¿Puede alguien aclararme esto?
¿Te refieres a esta frase:
A la inversa, esencialmente por el teorema de representación de Riesz, toda distribución que sea no negativa sobre funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de Radon (positiva).
La condición de que la distribución sea no negativa para funciones no negativas no es trivial. No todas las distribuciones cumplen esta condición, por lo que no todas las distribuciones son medidas de Radon.
Los ejemplos fundamentales son la función delta en un punto (que es una medida) y sus derivadas (que no son medidas).
Creo que el punto decisivo es la continuidad con respecto a las diferentes topologías. Sea $C$ sea el espacio de las funciones continuas de soporte compacto y $D$ el espacio de las funciones suaves de soporte compacto. La inclusión $D\hookrightarrow C$ es un mapa continuo cuando se da a ambos espacios la topología límite inductiva correspondiente. Esto significa que toda función lineal continua de $C$ es decir, cada medida de Radon, define una función lineal continua en $D$ es decir, una distribución. Pero no toda distribución se extiende a un mapa lineal continuo sobre $C$ . Ejemplos son las derivadas de la distribución de Dirac. La línea de Wikipedia se refiere a una importante propiedad de las funciones lineales en $C$ : si dicha funcional es positiva, es decir, si mapea funciones $f\ge 0$ a los números $\ge 0$ entonces es AUTOMÁTICAMENTE CONTINUO. Este es un hecho muy importante, aunque no es difícil de demostrar.
Esto es un resumen de lo que he aprendido sobre esta cuestión basándome en las respuestas de los demás comentaristas.
[Toda distribución positiva define una medida de Radon positiva.
Ingenuamente había supuesto un resultado para las distribuciones como el Teorema de Descomposición de Hahn[1] para las medidas, es decir, suponía que una distribución podía expresarse como la diferencia de dos distribuciones positivas. Si podría entonces aplicando el Teorema [*] se obtendría el resultado de que cualquier distribución es una medida con signo.
Sin embargo, este no es el caso. La derivada de la función delta, es decir, δ', satisface δ'(f) = -f'(0). Esto no es una medida. No encuentro ninguna forma de demostrar que no es la diferencia de dos distribuciones positivas, salvo por contradicción utilizando el resultado anterior.
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