¿Lo es? $\lvert\max\limits_a f(a) - \max\limits_a g(a) \rvert \leq \max\limits_a \lvert f(a) - g(a)\rvert$ ¿Verdad?

Question

Estoy atascado con este problema:

$$\lvert\max_a f(a) - \max_a g(a)\rvert \leq \max_a \lvert f(a) - g(a)\rvert$$ para cualquier $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

Me gustaría saber si la desigualdad es cierta y, en caso afirmativo, cómo demostrarlo.

He probado con diferentes instancias de $f$ y $g$ y parece que es verdad. Traté de demostrar por contradicción, pero no soy capaz.

Answer 1

Obsérvese en primer lugar que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ no tiene necesariamente un máximo (aunque sea continuo). Puede ser ilimitado, por ejemplo $f(x) =x$ , o acotado por encima sin alcanzar el máximo, por ejemplo $f(x) = x^2/(1+x^2)$ .

Si $\max_a f(a)$ , $\max_a g(a)$ y $\max_a \lvert f(a) - g(a)\rvert$ todos existen entonces se puede argumentar de la siguiente manera: El máximo de $f$ se alcanza en algún momento $b$ . Entonces $$\max_a f(a) - \max_a g(a) = f(b) - \max_a g(a) \le f(b) - g(b) \leq \lvert f(b) - g(b)\rvert \leq \max_a \lvert f(a) - g(a)\rvert$$ y tenemos $$\max_a f(a) - \max_a g(a) \leq \max_a \lvert f(a) - g(a)\rvert \, .$$ La misma desigualdad se cumple con $f$ y $g$ intercambiados, y por lo tanto $$\lvert\max_a f(a) - \max_a g(a)\rvert \leq \max_a \lvert f(a) - g(a)\rvert \, .$$

---

Si $f$ y $g$ sólo se suponen delimitado entonces un demuestra que $$\lvert\sup_a f(a) - \sup_a g(a)\rvert \leq \sup_a \lvert f(a) - g(a)\rvert \, .$$

Answer 2

Supongamos sin pérdida de generalidad que $\max\limits_a f(a)>\max\limits_a g(a)$ . Entonces tenemos:

$\max\limits_a f(a)-\max\limits_a g(a)|=\max\limits_a f(a)-\max\limits_a g(a)\leq \max\limits_a(f(a)-g(a))\\\leq \max\limits_a|f(a)-g(a)|$

En efecto $\max\limits_a f(a)-\max\limits_a g(a)\leq \max\limits_a(f(a)-g(a))$ porque..:

$\max\limits_a(f(a)-g(a))+\max\limits_ag(a)\geq f(x)-g(x)+g(x)=f(x)\ \forall x \Rightarrow \\ \max\limits_a(f(a)-g(a))+\max\limits_ag(a)\geq \max\limits_a f(a)$

tomando supremum, el máximo de este caso, para todo $x$ en ambos lados de la desigualdad.

Answer 3

Podemos suponer $\sigma:=\sup_x|f(x)-g(x)|<\infty$ . Entonces para todos $x$ se cumple lo siguiente: $$f(x)=g(x)+\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\leq g(x)+\bigl|f(x)-g(x)\bigr|\leq g(x)+\sigma\leq\sup_y g(y)+\sigma\ .$$ Esto permite concluir que $\sup_x f(x)\leq \sup_y g(y)+\sigma$ , y debido a la simetría también tenemos $\sup_y g(y)\leq \sup_x f(x)+\sigma$ . En conjunto, la afirmación es la siguiente.