Concavidad/convexidad de la función distancia al límite

Question

Para $\Omega$ un conjunto abierto acotado de $\mathbf{R}^d$ denota $\mathrm{d}_\Omega:x\mapsto \mathrm{d}(x,\partial\Omega)$ la función distancia al límite.

Si $\Omega$ es convexa, un breve argumento recordado aquí de Anton Petrunin demuestra que $\mathrm{d}_\Omega$ es una función cóncava dentro de $\Omega$ . En particular, si $\Omega$ es suave entonces en una vecindad de $\partial\Omega$ y en el interior $\Omega$ la matriz hessiana de $\mathrm{d}_\Omega$ no es positivo.

Me gustaría saber si fuera $\Omega$ (pero todavía en un vecindario de $\partial\Omega$ ), esta matriz hessiana sigue teniendo signo o, equivalentemente, si $\mathrm{d}_\Omega$ es convexo o cóncavo en $\mathbf{R}^d\setminus \Omega$ .

Estoy un poco perturbado porque, por un lado, el breve argumento anterior no parece aplicable fuera de $\Omega$ (de una forma u otra) pero al mismo tiempo esperaría que la convexidad del volumen "encerrado" definido por una superficie cerrada (aquí $\partial\Omega$ ) podría adivinarse directamente a partir de ella (o utilizando su función de distancia).

Answer 1

La función de distancia con signo $f=\pm\textrm{dist}_{\partial \Omega}$ es cóncava en todas partes; aquí $f=\textrm{dist}_{\partial \Omega}$ interior y $f=-\textrm{dist}_{\partial \Omega}$ fuera.

La prueba es sencilla, por dentro la conoces, por fuera es muy parecida:

Supongamos que $B(x,r_x)\cap \Omega\ni p$ y $B(y,r_y)\cap \Omega\ni q$ . Basta con demostrar que $$B(\tfrac{x+y}2,\tfrac{r_x+r_y}2)\cap \Omega\ne \varnothing.$$ Esto último se deduce porque $\tfrac{p+q}2\in B(\tfrac{x+y}2,\tfrac{r_x+r_y}2)$ .