Necesito ayuda para entender este ejemplo de distribución

Question

Consideremos el siguiente ejemplo de una distribución (dada aquí ):

Intenté dibujar esto. Si $p=(a,b,c)$ entonces $$ X_p = (1,0,-b), Y_p = (0,1,0)$$

Entonces los planos de la distribución son planos abarcados por $X_p,Y_p$ .

Vemos que el plano abarcado por $X_p,Y_p$ es un plano que gira alrededor del vector $Y_p$ como $p$ se mueve a lo largo del $y$ -Eje.

Supongamos que tenemos una superficie $S$ que era tangente a todo este giro de planos. Sin pérdida de generalidad, supongamos que la superficie está situada en $\mathbb R^3$ tal que el origen esté en la superficie.

Entonces tenemos un plano, casualmente paralelo al $xy$ -que es tangente a $S$ en $0$ . En otras palabras: el $xy$ -es tangente a $S$ .

Hasta aquí puedo seguir la explicación dada en el texto. Pero todo lo que sigue no lo entiendo.

Por ejemplo, sólo porque el $xy$ -es tangente a $S$ en $0$ no me queda claro por qué $S$ se cruzaría con el $x$ -eje en un segmento de línea (por ejemplo, $S^2$ puede ser tangente a la $xy$ -plano an no interseca el $x$ -en un segmento de línea).

Pero incluso si esto estaba claro para mí y supongo que $S$ interseca este eje en un segmento de línea el resto de la explicación tampoco me queda clara: viajar a lo largo de un eje de intersección no parece contradecir que los planos se retuerzan.

Por favor, ¿podría alguien explicarme esto?

Answer 1

En primer lugar, establezcamos rigurosamente que la distribución $\xi$ no es integrable, para ello utilizaremos el llamado Teorema de Frobenius que recuerdo a continuación:

Teorema. Sea $M$ sea una variedad lisa y $\xi$ sea una distribución de $M$ entonces las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

• La distribución $\xi$ es integrable.

• Para todos los campos vectoriales $X$ y $Y$ de $M$ tal que $X,Y\in\xi$ entonces $[X,Y]\in\xi$ .

Boceto. La prueba es esencialmente un uso recursivo del teorema de enderezamiento para campos vectoriales alrededor de un punto no singular. La demostración completa se encuentra en el capítulo $14$ de Introducción a las variedades lisas por J. Lee. $\Box$

Volviendo a tu caso, aunque $X$ y $Y$ son tangentes a $\xi$ (por definición), se tiene $[X,Y]=\frac{\partial}{\partial z}$ que es un campo vectorial linealmente independiente de $X$ y $Y$ y, por tanto, no pertenece a $\xi$ . De ahí el resultado.

Arrojemos ahora algo de luz sobre la discusión informal que ha reproducido.

Ayuda darse cuenta de que $\xi$ viene dado por el núcleo de $\mathrm{d}z+y\mathrm{d}x$ es evidente que $\xi$ es invariante por traslación a lo largo de $x$ -(y el eje $z$ -). Por lo tanto, si $0\in S$ es un submanifold integral de $\xi$ entonces $\xi_0$ (que es el $xy$ -) es tangente a $S$ no sólo en $0$ pero a lo largo del $x$ -(invariancia de $\xi$ a lo largo de este eje). Por lo tanto, $S$ se cruza con el $x$ -en un segmento de línea. El contraejemplo que mencionas no lo es realmente ya que $S^2$ ya no es tangente a la $xy$ -cuando se desplaza a lo largo del $x$ -eje desde el origen.

El punto clave es que por invariancia de $\xi$ por traslación en el sentido de la $x$ -Eje, $S$ sigue siendo tangente al $xy$ -cuando se desplaza a lo largo del $x$ -eje de $0$ .

A partir de esta observación, la conclusión debería ser realmente fácil. Una superficie lisa no puede contener un segmento de línea de modo que un conjunto abierto de la $xy$ -se incluye de hecho en $S$ . Por lo tanto, puede viajar en $S$ en la dirección del $y$ -eje sin salir del $xy$ -plano y $\xi$ siendo tangente a $S$ debe estar contenido en $\{z=0\}$ una contradicción directa con $\xi$ retorciéndose a lo largo del $y$ -Eje.