¿Cómo puedo solucionar este trastorno obsesivo-compulsivo?

Question

Necesito encontrar la solución de $$x''-2x'+x=\sum_{n=1}^Ne^{-nt}$$ Pensaba en coeficientes indeterminados. ¿Hay otra manera?

Answer 1

$$x''-2x'+x=\sum_{n=1}^Ne^{-nt}$$ $$e^{-t}(x''-2x'+x)=\sum_{n=1}^Ne^{-(n+1)t}$$ $$(e^{-t}x)''=\sum_{n=1}^Ne^{-(n+1)t}$$ Ahora defina $y(t):=e^{-t}x(t)$ $$y''=\sum_{n=1}^Ne^{-(n+1)t}$$ Ahora puedes integrar dos veces.

Answer 2

La ecuación característica de la ecuación homogénea es $$r^2-2r+1=0$$ y tiene la raíz doble $r=1$ por lo que la solución homogénea es $$x_h(t)=(at+b)e^t$$ Ahora buscamos una solución particular a la EDO $$x''-2x'+x=e^{-kt}$$ en el formulario $x_p(t)=\alpha_k e^{-kt}$ y encontramos $$(k^2+2k+1)\alpha_k=1\iff\alpha_k=(k^2+2k+1)^{-1}$$ y finalmente por el método de superposición la solución general de la ecuación dada es $$x(t)=(at+b)e^t+\sum_{n=1}^N\frac{e^{-nt}}{n^2+2n+1}$$

Answer 3

Primero puede resolver $x''-2x'+x=0$ . Buscamos una solución en forma de $x(t)=e^{\alpha t}$ si se sustituye a la ecuación se tiene $\alpha^2-2\alpha+1=(\alpha-1)^2=0$ , $\alpha=1$ es raíz doble, por lo que tiene dos soluciones lineales independientes: $e^{t}$ y $te^{t}$ así que la solución general es:

$x(t)=Ce^t+Dte^t$

Encuentre ahora soluciones especiales de $x''-2x'+x=e^{-nt}$ . Está en forma $x(t)=C_ne^{-nt}$ sustituyendo a la ecuación y hallando $C_n$ :

$C_nn^2+2nC_n+1+C_n=1$ así que..:

$C_n=\frac{1}{n^2+2n+1}$

Ahora ya conoce la solución especial para $x''-2x'+x=\sum_{n=1}^{N}e^{-nt}$ Lo es: $x(t)=\sum_{n=1}^{N}C_ne^{-nt}$ así que finalmente..:

$x(t)=Ce^t+te^{t}+\sum_{n=1}^{N}C_ne^{-nt}$

Answer 4

Solución por el método de los operadores

La ecuación puede escribirse como
$(D^2 - 2D + 1)x = \sum\limits_{n = 1}^N e^{-nt} \Leftrightarrow\\ (D - 1)^2 x = \sum\limits_{n = 1}^N e^{-nt}$

La ecuación auxiliar es $(m - 1)^2 = 0 \Rightarrow m = 1, 1$ por lo que la función complementaria (solución de la ecuación homogénea $(D - 1)^2 x = 0$ ) es $x_c = (c_1 + c_2 t)e^t$ .

Para hallar la integral particular, $x_p$ utilizamos $\dfrac{1}{f(D)}e^{at} = \dfrac{1}{f(a)}e^{at}$ cuando $f(a) \ne 0$ .

Toma, $\dfrac{1}{(D - 1)^2}e^{-nt} = \dfrac{1}{(-n - 1)^2}e^{-nt} = \dfrac{1}{(n + 1)^2}e^{-nt}$ (como $n \ne -1)$ .

Así, $x_p = \sum\limits_{n = 1}^N \dfrac{1}{(n + 1)^2}e^{-nt}$ .

Por lo tanto, la solución completa se obtiene sumando $x_c$ y $x_p$ :

$\boxed{x = \sum\limits_{n = 1}^N \dfrac{1}{(n + 1)^2}e^{-nt} + c_1 + c_2 t}$