categoría k-lineal

Question

En las tareas que tengo dice

"Let $k$ sea un campo. Demuestre que la estructura de un $k$ -categoría lineal sobre una categoría $\mathcal{C}$ es equivalente a $\mathcal{C}$ siendo una categoría de módulo (véase Categoría de módulo en nLab ) sobre $\mathrm{vect_k}$ los espacios vectoriales sobre $k$ ."

Tengo algunas preguntas al respecto:

1) He buscado en Google y he encontrado que " $k$ -lineal" significa que la categoría está enriquecida sobre $\mathrm{vect_k}$ . He encontrado la definición de enriquecido, pero es muy abstracta, ¿podría alguien explicarme qué es enriquecido? $\mathrm{vect_k}$ ¿significa explícitamente?

2) ¿Qué significa exactamente $k$ -categoría lineal SOBRE UNA CATEGORÍA $\mathcal{C}$ ¿Qué quieres decir? Nunca lo encontré así..

3) Para la prueba dice como pista "definir $v.c$ para $v \in \mathrm{vect_k}$ et $c \in \mathcal{C}$ como el objeto que representa el functor $v \otimes_k \mathrm{Hom}( - , c)$ . ¿Por qué tengo que identificar un objeto como $v.c$ como functor?

Cualquier otra pista sobre cómo probar esto es, por supuesto, siempre es bueno ver, pero me alegro si alguien me puede ayudar a entender la pregunta :D

Gracias de antemano.

Answer 1

1) Supongo que ha encontrado esta definición de categoría enriquecida y hablamos de enriquecimiento sobre una categoría monoidal.

Personalmente creo que la mejor manera de pensar en las categorías enriquecidas es considerarlas como categorías cuya $\hom$ -los mapeos de composición y las identidades se puede levantar respectivamente a un $\mathcal V$ -y $\mathcal V$ -mapeos de valores.

Podría hacer esto un poco más formal pero podría ser largo, así que si necesitas detalles adicionales no dudes en preguntar.

Un poco más concretamente, para el caso de la categoría monoidal $\mathbf{Vect}_k$ de $k$ -(con producto tensorial $(\otimes)$ como producto monoidal, y $(0)$ el espacio vectorial cero, como unidad monoidal) una categoría enriquecida equivale a una categoría $\mathbf C$ cuyo $\hom$ -sets $\mathbf C[a,b]$ tienen una estructura adicional (enriquecedora) de $k$ -espacios vectoriales lineales, en los que las composiciones $\circ_{a,b,c} \colon \mathbf C[b,c] \times \mathbf C[a,b] \to \mathbf C[a,c]$ son $k$ -multilineales.

2) Si adopta este punto de vista, y considera las categorías enriquecidas como categorías con estructura adicional (en el $\hom$ -y en las composiciones) entonces debería ser bastante natural llamar a esta estructura adicional el $k$ -categoría lineal estructura en la categoría (subyacente) considerado (ya que hablamos de la $k$ -sobre un conjunto).

3) Dado que en la fórmula $v \otimes_k \text{Hom}(-,c)$ está utilizando el producto tensorial de $\mathbf{Vect}_k$ Estoy suponiendo que usted está demostrando que un $k$ -es una categoría $\mathbf{Vect}_k$ -categoría de módulo.

En realidad la clave para entender tu indirecta está en la frase " el objeto representando a el functor $v \otimes_k \text{Hom}(-,c)$ "esto implica que $v.c$ no es un functor pero es un objeto tal que se tiene un isomorfismo natural $$\text{Hom}(-,v.c) \cong v \otimes_k \text{Hom}(-,c)$$ de $\mathbf{Vect}_k$ -functores valorados.

Espero que esto le ayude, si no, no dude en pedir más detalles.