$X^p - a$ sólo tiene una raíz en un campo de división en el que $a$ no es un $p$ a potencia, sobre un campo de char $p$ .

Question

Sea $F$ sea un campo de característica $p$ et $a \in F$ no un $p$ de potencia. Entonces el campo de división de $f = X^p - a \in F[X]$ sólo tiene una raíz de $f$ . Así, al considerar $|\text{Aut}(E/F)| = [E:F]$ es importante que $f$ ser separable.

Por favor, ayúdenme a entender esto. ¿Qué se necesita para demostrar la afirmación del título?

Answer 1

Sea $E$ sea un campo de división de $f(X) = X^{p}-a \in F[X]$ y que $\alpha \in E$ sea una raíz de $f$ . Entonces $f(\alpha) = \alpha^{p} - a = 0$ por lo que podemos reescribir $f(X)$ como $X^{p} - \alpha^{p} \in E[X]$ . Ahora utiliza el hecho de que $F$ (y por lo tanto $E$ ) tiene la característica $p$ reescribir $X^{p}-\alpha^{p}$ de una manera ''más simple'' (tal vez la palabra Frobenius nos ayude a entenderlo).