¿Cómo podríamos derivar la igualdad $$ \frac14 \sum_{m=1}^\infty \frac1m \frac{1}{\sinh^2 \frac{m\alpha}2} = - \sum_{n=1}^\infty n\log (1-q^n)$$ donde $q=e^{-\alpha}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$ \begin{align} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \frac{1}{\sinh^{2} \frac{m \alpha}{2}} &= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \frac{4}{(e^{m \alpha /2}-e^{- m \alpha /2})^{2}} \\ &= 4 \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \frac{e^{-m \alpha }}{(1-e^{-m \alpha})^{2}} \\ &=4 \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m}\sum_{n=1}^{\infty} n(e^{-m \alpha})^{n} \tag{1} \\ &=4 \sum_{n=1}^{\infty} n \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(e^{-\alpha n })^{m}}{m} \\ &= -4 \sum_{n=1}^{\infty} n \log(1-e^{- \alpha n}) \end{align}$$
$(1)$ Si $|z| <1$ , $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} nz^{n} = \frac{z}{(1-z)^{2}}$ .
