¿Es fácil dar un ejemplo de un campo de función $K$ y una variedad propia lisa $X$ en $K$ que no se extiende a un esquema plano sobre $B$ donde $B$ es una variedad propia lisa con campo de funciones $K$ ?
El grado de trascendencia de $K$ tiene que ser al menos dos para que esto exista.
Tenga en cuenta que quiero $B$ para ser adecuada. Siempre puede ampliar $X$ a un piso $U$ -esquema, donde $U$ es un subesquema abierto de $B$ (¿tal vez hasta una cubierta de etale?).
Cantlog da un buen ejemplo, pero tal vez la OP quiere un ejemplo en el que la fibra genérica geométrica es irreducible: depende de su interpretación de "variedad". Sea $B$ sea $\mathbb{A}^3$ con coordenadas $(x,y,z)$ . Sea $U$ sea $\mathbb{A}^3\setminus\{0\}$ . Sea $\mathcal{E}$ sea el cokernel del siguiente mapa de localmente libres $\mathcal{O}_B$ -módulos, $$ \mathcal{O}_B \xrightarrow{(x,y,z)} \mathcal{O}_B^{\oplus 3}.$$ La cuestión es que para cada número entero $d$ , $\textbf{Sym}^d_{\mathcal{O}_B}(\mathcal{E})$ es coherente y reflexivo, pero no localmente libre en $0$ .
Ahora toma $\overline{X}$ ser $\textbf{Proj}_B(\textbf{Sym}^\bullet_{\mathcal{O}_B}(\mathcal{E}))$ con su proyección natural $\overline{\pi}:\overline{X}\to B$ . Defina $X$ sea la imagen inversa de $U$ . Esto es plano sobre $U$ de hecho, sólo un $\mathbb{P}^1$ -bundle. Sin embargo, afirmo que no existe una extensión plana de $X$ en $B$ .
Es "bien sabido" que todo morfismo plano y propio con $1$ -es proyectiva, al menos étale localmente sobre la base. Puedes encontrar esto explícitamente en algunos escritos de Brian Conrad (creo que también Max Lieblich, probablemente muchas otras fuentes también). Así que si $X/U$ extendido a una familia plana sobre la base, entonces, después de pasar a la Henselización de $\mathcal{O}_{B,0}$ la familia sería proyectiva. El Picard relativo de $X/U$ no es más que la gavilla constante fppf $\mathbb{Z}$ con generador la gavilla de torsión de Serre $\mathcal{O}(1)$ naturalmente asociado a la construcción del Proj. Así, en el modelo plano, la gavilla invertible muy amplia se restringe a $\mathcal{O}(d)$ sobre la Henselización punteada para algún número entero positivo $d$ .
Dado que el morfismo es plano y proyectivo, para una torsión suficientemente alta de la gavilla invertible muy amplia, es decir, después de sustituir $d$ por un múltiplo suficientemente positivo, no hay imágenes directas superiores y el pushforward a la base es localmente libre. Pero, sobre la Henselización puntuada, el pushforward no es más que el pullback de $\textbf{Sym}^d_{\mathcal{O}_B}(\mathcal{E})$ . Por lo tanto, existe una extensión de esta gavilla a una gavilla localmente libre sobre toda la Henselización. Pero esto es absurdo: ya $\textbf{Sym}^d_{\mathcal{O}_B}(\mathcal{E})$ es una extensión reflexiva sobre toda la Henselización, y las extensiones reflexivas son únicas hasta un isomorfismo único (usando la propiedad S2). Dado que $\textbf{Sym}^d_{\mathcal{O}_B}(\mathcal{E})$ no es localmente libre en $0$ tampoco está libre localmente.
En el caso especial de que $X$ es un punto, esta pregunta está pidiendo esencialmente la resolución de singularidades: no hay ninguna razón para que tal $B$ debería existir de otro modo.
Por el contrario, si se suponen resoluciones, entonces la respuesta es sí: por Raynaud-Gruson, para cualquier variedad adecuada $B_0$ con campo de función $K$ hay alguna explosión $B \to B_0$ tal que $X$ se extiende a una familia plana sobre $B$ . Por resoluciones, se puede hacer una ampliación adicional para suponer $B$ es suave y adecuada, y esto claramente no afecta a la planitud.
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