Representación decadimensional de $S_6$

Question

Sea $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ .

Para cada subconjunto de tres elementos $A\subset S$ et $B=S\setminus A$ considere el símbolo $e_{(A|B)}$ para lo cual suponemos que $e_{(A|B)}=e_{(B|A)}$ . Entonces el espacio vectorial $V$ abarcado por todos $e_{(A|B)}$ en $\mathbb{C}$ es una representación en diez dimensiones de $S_6$ . ¿Cómo puedo calcular la descomposición de $V$ en suma directa de representaciones irreducibles?

Un sumando es obvio - es un espacio unidimensional abarcado por $e=\sum\limits_{A\subset S,|A|=3}e_{(A|B)}$ .

Answer 1

Según tengo entendido, se trata de una representación de permutación doblemente transitiva. Por lo tanto, se descompone como la suma de la representación trivial y una representación irreducible de 9 dimensiones.

Edición: efectivamente, estabilizador de $e_{A|B}$ es isomorfo a $3^2:D_8$ y corresponde al estabilizador de un punto en la acción de $S_6$ en la recta proyectiva sobre $\mathbb{F}_9$ . Véase, por ejemplo http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/alt/A6/ para más detalles.

Y por último, hay dos representaciones irreducibles de 9 dimensiones de $S_6$ . Para ver cuál ocurre aquí, compruebe el valor de carácter de un elemento de orden 4 con estructura cíclica $(1,2,3,4)$ es decir, un elemento que no está en $A_6<S_6$ .