¿Las operaciones con módulo y valor absoluto utilizan el mismo signo? En caso afirmativo, ¿suponemos siempre que se trata de un módulo cuando el número es complejo? Si una expresión dice $|a+bi|$ esto significa que debo interpretarlo como $\sqrt{a^2+b^2}$ y no $\sqrt{a^2+2abi-b^2}$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¿Las operaciones con módulo y valor absoluto utilizan el mismo signo?
Pues sí.
Y esto está bien- cuando $x \in \mathbb{R}$ el módulo de $x$ es igual al valor absoluto de $x$ .
¿Por qué? Te lo demostraré.
Sea $|x|$ sea el valor absoluto de $x$ y que $\textrm{mod(x)}$ sea el módulo de $x$ .
Reclamación: $|x|=\rm{mod(x)}$ para $x \in \mathbb{R}$ .
Prueba:
$\textrm{mod(x)}=\rm{mod(x+0i)}:=\sqrt{x^2+0^2}=\sqrt{x^2}=: |x|.$
$\square$
En caso afirmativo, ¿suponemos siempre que se trata de un módulo cuando el número es complejo?
La función módulo es una generalización de la función absoluta, así que, en caso de duda, ¡utiliza el módulo!
El valor absoluto sólo tiene sentido para los números reales, mientras que el módulo se define para todos los números (complejos), ¡y todos los números reales son complejos!
Si una expresión dice $|a+bi|$ esto significa que debo interpretarlo como $\sqrt{a^2+b^2}$ y no $\sqrt{a^2+2abi-b^2}$ [?]
"Por definición" sería mi respuesta, pero, geométricamente, podemos considerar el módulo o valor absoluto de un número complejo como su distancia al origen.
Para los números reales, el módulo es lo mismo que el valor absoluto, ya que es sólo la longitud del número sin tener en cuenta su signo.
Para un número estrictamente complejo (es decir, de la forma $x+yi$ donde $x,y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ), la función de valor absoluto no tiene sentido, ya que un número estrictamente complejo como $2+i$ no es negativo ni positivo.
Si continuamos con nuestra idea de que el valor absoluto es la distancia de un número al origen, podemos extender la función de valor absoluto a los números complejos, y llamarla ahora módulo.
Como respuesta intuitiva, más que nada, considere trazar un punto general en el plano complejo.
Ahora, usted debe ver en la imagen de arriba que $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ se deduce inmediatamente del Teorema de Pitágoras, ya que tenemos un triángulo rectángulo.
No tendría sentido tener $\sqrt{a^2+2abi-b^2}$ ya que las distancias son reales y esto es no real ( para todos $a,b \in \mathbb{R}$ ).
