He aquí algunos detalles de la respuesta de Joel David Hamkins.
A cardinal medible (de dos valores) es un cardinal incontable $\kappa$ tal que existe una continua $({<\kappa})$ -aditivo $\{0,1\}$ -medida de probabilidad valorada $\mu$ definido en todos los subconjuntos de $\kappa$ . Decir que $\mu$ es $({<\kappa})$ -aditivo significa que si $(X_i)_{i \in I}$ es una familia de subconjuntos de $\kappa$ con $|I|<\kappa$ entonces $\mu\left(\bigcup_{i \in I} X_i\right) = \sum_{i\in I} \mu(X_i)$ . Desde $\mu$ sólo puede tomar valores $0$ y $1$ esto equivale a decir que (a) a lo sumo uno de los $X_i$ puede tener medida $1$ y (b) si todas tienen medida $0$ entonces también $\bigcup_{i \in I} X_i$ . (Algunas personas dicen $\kappa$ -aditivo en lugar de $({<\kappa})$ -aditivo, pero prefiero utilizar $\kappa$ -aditivo para significar lo anterior para familias con conjunto de índices de tamaño igual a $\kappa$ .)
La existencia de un continuo contablemente aditivo $\{0,1\}$ -medida de probabilidad valorada $\mu$ definido en todos los subconjuntos de un conjunto $S$ implica la existencia de un cardinal mensurable. En efecto, afirmo que si $\kappa \geq \aleph_1$ es el el más pequeño cardinal tal que $\mu$ no es $\kappa$ -aditivo, entonces $\kappa$ es un cardinal medible. Para ver esto, dejemos que $(X_i)_{i<\kappa}$ sea una familia de medidas disjuntas por pares $0$ conjuntos tales que $\bigcup_{i<\kappa} X_i$ tiene medida $1$ (es decir, la familia contradice $\kappa$ -aditividad de la única manera posible). Definición de $\bar{\mu}(I) = \mu\left(\bigcup_{i \in I} X_i\right)$ para cada $I \subseteq \kappa$ obtenemos a $({<\kappa})$ -aditivo $\{0,1\}$ -medida de probabilidad valorada $\bar\mu$ definido en todos los subconjuntos de $\kappa$ .
Así que la existencia de un continuo contablemente aditivo $\{0,1\}$ -medida definida en todos los subconjuntos de un conjunto $S$ es exactamente equivalente a la existencia de un cardinal mensurable. Sin embargo, dado que también se permite que una medida de probabilidad tome valores estrictamente comprendidos entre $0$ y $1$ Esto no equivale a la afirmación por la que pregunta.
Por analogía con lo anterior, un cardinal mensurable de valor real es un cardinal incontable $\kappa$ tal que existe una continua $({<\kappa})$ -medida de probabilidad aditiva definida en todos los subconjuntos de $\kappa$ . La existencia de un cardinal mensurable de valor real es equivalente a tu afirmación mediante una variación del truco utilizado anteriormente.
En 1930, Ulam ( Sobre la teoría de medidas en la teoría general de conjuntos Fondo. Math. 16) demostró que si $\kappa$ es medible en valores reales, entonces $\kappa \geq 2^{\aleph_0}$ y que si $\kappa > 2^{\aleph_0}$ es medible en valores reales, entonces $\kappa$ es de hecho mensurable (con una medida posiblemente diferente). Ulam también demostró que los cardinales sucesores como $\aleph_1$ no puede ser medible en valores reales.
En la década de 1960, Solovay ( MR290961 ) resolvió finalmente el caso límite. Demostró que si $\kappa = 2^{\aleph_0}$ es medible en valores reales, entonces existe un modelo interno (a saber $L[I]$ donde $I$ es el ideal de conjuntos nulos) en el que $\kappa$ sigue siendo medible en valores reales y GCH se cumple, por lo tanto $\kappa$ es medible en ese modelo interior por los resultados anteriores de Ulam. Aunque esto no significa que la existencia de un cardinal mensurable de valor real y la existencia de un cardinal mensurable sean equivalentes, muestra que las dos afirmaciones son equiconsistente sobre ZFC.
Utilizando el forzamiento (y otro resultado de Ulam), Solovay también demostró que si existe un modelo con un cardinal medible, entonces existe un modelo en el que la medida de Lebesgue sobre $[0,1]$ puede extenderse a una medida de probabilidad definida sobre todos los subconjuntos de $[0,1]$ .
