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$\varphi : R\rightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},x\mapsto x+p\mathbb{Z}$ está bien definida y es suryectiva.

Dado el anillo $$R=\{x\in\mathbb{Q}\mid x=\frac{a}{b}, a.b\in\mathbb{Z}, p\nmid b\}$$ para un número primo $p$ .

Ahora tengo que demostrar que $$\varphi : R\rightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},x\mapsto x+p\mathbb{Z}$$

está bien definida y es suryectiva.

Hasta ahora sólo pensaba que $\varphi$ podría ser suryectiva porque $x=\frac{a}{b}$ y el mapa $a\mapsto a+p\mathbb{Z}$ es suryectiva. Pero a partir de aquí no sé muy bien por dónde seguir.

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Technophile Puntos 101

La división por $b$ en $R$ corresponde a una multiplicación por $b^{-1}$ en $\mathbb Z/p\mathbb Z$ ; $b^{-1}$ está bien definido, ya que $p$ es primo (por tanto $\mathbb Z/p\mathbb Z$ es de hecho un campo) y $p\nmid b$ Así que $\varphi$ está bien definida.

$\varphi$ es suryectiva porque $\frac01,\frac11,\dots,\frac{p-1}1$ están todos en $R$ y se asignan naturalmente a cada elemento distinto de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ .

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