¿Se puede estabilizar una planta inestable con un controlador de adelanto-atraso?

Question

Tengo la siguiente función de transferencia de planta

$$P(s) = 500\cdot\frac{s-5}{s^2 - 625} $$

esta función no es estable. Quiero saber si el sistema puede ser estable con un controlador de la forma

$$ C(s) = k\cdot\frac{s+a}{s+b}$$

Puedo ver matemáticamente cómo no es posible, ya que (no unidad) función de transferencia de bucle cerrado: $$ \frac{1}{1 + P(s) \cdot C(s)}$$ no es estable, pero quería saber si hay alguna otra manera de saber que un controlador lead-lag no estabilizará este sistema, ¿tal vez una visión más profunda de lo que un lead-lag puede o no puede hacer?

Answer 1

Como sugirió KBS, podemos fijarnos en el locus raíz del sistema para comprender mejor lo que ocurre.

Ese par polo-cero a la derecha del $s$ -plano es un problema. No hay cantidad de polos o ceros que podamos añadir al lado izquierdo que lleve todos los polos de lazo cerrado allí para cualquier valor de ganancia.

Nuestra única esperanza para estabilizar este sistema con polos y ceros simples es añadir un polo entre ese par polo-cero del lado derecho, para crear un punto de ruptura del eje real, y un cero adecuado en el lado izquierdo que nos permita mover los polos de lazo cerrado al lado izquierdo para algún valor de ganancia.

El problema es: ningún sistema causal de primer orden tiene su polo en el lado derecho de la $s$ -avión

Para completar, un sistema causal de segundo orden de la forma $$ K{s+a \over (s-b)(s+c)} $$ puede estabilizar la planta, pero entonces el propio compensador es inestable en lazo abierto.