Pregunta sobre suma de dos variables independientes de Poisson, convolución

Question

Considere el siguiente ejercicio tomado de Probabilidad-1 de Shiryaev:

Suponiendo que $\xi_1$ y $\xi_2$ son dos Poi independientes independientes con parámetros, respectivamente, $\lambda_1 > 0$ a $\lambda_2 > 0$ demuestre que $\xi_1 + \xi_2$ tiene una distribución de Poisson con el parámetro $\lambda_1 + \lambda_2$ .

El ejercicio se encuentra en la p. 294. Como la clase a la que asisto (probabilidad 1) es bastante mala, vuelvo a hacer autoaprendizaje. Pero estoy un poco atascado en este ejercicio. He buscado en Google, pero creo que necesito ayuda más específica para entender los conceptos y no sólo la solución. La definición de variable aleatoria de Poisson es la siguiente:

Sea $X$ sea una variable aleatoria que toma valores $k = 0,1,2,\dots$ con probabilidades $p_k$ . $X$ es una variable aleatoria de Poisson si $$p_k = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \qquad k = 0,1,2,\dots$$

En la p. 291 encontré lo siguiente (la pregunta es de este capítulo):

La función de distribución de la suma de dos aleatorios independientes independientes es la convolución de sus funciones de distribución.

Así que me pregunto: ¿Es esto útil aquí? ¿Cómo puedo calcular la función de distribución de la distribución de Poisson? Sé que me faltan conocimientos, pero creo que es difícil aprender esto por mí mismo. Gracias por su tiempo.

Answer 1

La forma más sencilla que veo es utilizar funciones características (si no para ese problema concreto, para muchos otras que surgirán al estudiar la convergencia de variables aleatorias). Para una variable aleatoria de valor real $X$ la función característica $\phi_X\colon\mathbb{R}\mapsto \mathbb{C}$ se define por $$ \phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] $$ y caracteriza plenamente la distribución de $X$ .

Ahora bien, dada la funciones características de una variable aleatoria de Poisson podemos escribir, para cualquier $t\in\mathbb{R}$ , $$\begin{align} \phi_{\xi_1+\xi_2}(t) &= \mathbb{E}[e^{it(\xi_1+\xi_2)}] = \mathbb{E}[e^{it\xi_1}e^{it\xi_2}] = \mathbb{E}[e^{it\xi_1}]\mathbb{E}[e^{it\xi_2}] \tag{Independence} \\ &= \phi_{\xi_1}(t)\phi_{\xi_2}(t) = e^{\lambda_1(e^{it}-1)}e^{\lambda_2(e^{it}-1)} \tag{Known expression}\\ &= e^{\lambda_1(e^{it}-1)+\lambda_2(e^{it}-1)} = e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^{it}-1)} = e^{\lambda'(e^{it}-1)} \end{align}$$ para $\lambda'\stackrel{\rm def}{=} \lambda_1+\lambda_2$ . Desde esta última expresión, $e^{\lambda'(e^{it}-1)}$ es la expresión de la función característica de una variable aleatoria de Poisson con parámetro $\lambda'$ podemos concluir que $\xi_1+\xi_2$ es Poisson con parámetro $\lambda'$ .

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Adicional: si quiere demostrar que $t\mapsto e^{\lambda(e^{it}-1)}$ es la expresión de la función característica una v.r. distribuida de Poisson. $X$ con el parámetro $\lambda$ (en lugar de decir "es estándar"), he aquí la derivación: para $t\in\mathbb{R}$ $$ \phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \sum_{n=0}^\infty e^{itn} \frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^\infty \frac{(e^{it} \lambda)^n}{n!} = e^{-\lambda} e^{e^{it} \lambda} = e^{\lambda(e^{it} -1)} $$ utilizando el hecho de que $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ para $z\in\mathbb{C}$ .